Demuestre que si$\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}=L<1$ converge a$0$.

Question

Estoy atascado con este problema de "Introducción al Análisis de James Kirkwood" en la página 48 del ejercicio 24.

Deje $\{x_n\}$ ser una secuencia real de números positivos tal que $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=L$ existe. Probar que si $L<1$ $\{x_n\}$ converge a $0$.

Estoy pensando (lo tengo de esta pregunta similar)

Por definición de límite que tengo que para cualquier $\epsilon>0$, en particular, para $0<\epsilon<1$ tal que $L+\epsilon < 1$, $N_{\epsilon}\in \mathbb{N}$ tal que $n>N_{\epsilon}$ implica que, $$|\frac{x_{n+1}}{x_n}-L|<\epsilon \Rightarrow \frac{x_{n+1}}{x_n}<L+\epsilon \Rightarrow x_{n+1}<(L+\epsilon)x_n<(L+\epsilon)^{n}x_n \\ \text{This will always happen even as $n \rightarrow \infty$, as long as $n>N_{\epsilon}$} $$

Desde $\lim_{ N_{\epsilon}\to\infty }r^{N_{\epsilon}}=0$, cuando se $0<r<1$, y debido a $0<(L+\epsilon)<1$ debemos tener ese $x_{x+1}<0$ sin embargo, debido a $x_n$ es una secuencia real de los números positivos tenemos que $x_{n+1}$ también debe ser siempre mayor que $0$. Por lo $\{x_{n+1}\}$ converge a $0$, y por lo tanto $\{x_n\}$ converge a $0$.

Pero no estoy seguro acerca de esta forma de pensar, ya que creo que una posible contradicción que pudiera surgir con $L$ cero o algo. Sus pensamientos?

Answer 1

Dado:

$x_{n+1}/x_n \le L<1, x_n >0.$

Esto implica:

$\star)$$x_n \lt x_0 L^n.$

Prueba por inducción:

$n=1$:$x_1/x_0 \le L.$

Hipótesis:$\star)$.

Paso:

$ x_n \le x_0 L^n;$

$ x_{n+1}(1/L) \le $

$x_{n+1}(x_n/x_{n+1}) \le x_0 L^n;$

$x_{n+1} \le x_0 L^{n+1}.$

$0 \le \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \le $

$x_0 \lim_{n \rightarrow \infty} L^n = 0$.