Deje $C$ ser una contables subconjunto de $(a,b)$. A continuación, hay un aumento de la función en $(a,b)$ que es continuo sólo en $(a,b)\setminus C$
Este es un ejemplo de Royden del análisis real del libro. La función definida en $(a,b)$ $f(x)=\sum_{\{n:q_n \le x\}}\frac{1}{2^n}$ donde $\{q_n\}$ es una enumeración de $C$ . Para mostrar la continuidad en $(a,b)\setminus C$ dice que deje $x_0$ $(a,b)\setminus C$ y deje $n$ ser cualquier número natural. Entonces existe un intervalo, $I$, que contiene $x_0$. Además, $q_n$ no $I$$1\le k \le n$. Entonces este implys que $|f(x)-f(x_0)| < \frac{1}{2^n}$$x \in I$.
Entiendo esta parte. Entonces hay un problema, justo después de esta prueba, dice:
- Deje $C$ ser una contables subconjunto de la degenerada cerrado delimitado intervalo de $[a,b]$. A continuación, hay un aumento de la función en $[a,b]$ que es continuo sólo en $[a,b]\setminus C$.
Me preguntaba, si definimos $$f(a)=0 \text{ and } f(b)=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2^n}=1$$ Es la prueba de que todavía mantienen? ¿Me olvido de algo aquí? Son la prueba de que estos dos problemas similares?
Gracias!
Gracias por la solución que se me aceptó, y he añadido algo nuevo aquí.
Demostrar que no es estrictamente una función creciente en $[0,1]$ que es continuo sólo en la irrationals en $[0,1]$.
Deje $f$ ser monótona de la función de un subconjunto $E$$\mathbb R$. Mostrar que $f$ es continua excepto posiblemente en una contables número de puntos n $E$.
Deje $E$ ser un subconjunto de a $\mathbb R$ $C$ una contables subconjunto de $E$. Hay una monotonía de la función en $E$ que es continuo sólo en puntos de $E \setminus C$?
Estos son los cuatro sucesivos problemas en la Página 109 de Royden del análisis real del libro. Así que creo que para el problema 2, podemos utilizar el resultado del problema 1 y deje $C$ ser racionales. ¿Me olvido de algo aquí?
Y para el 3 y 4, ¿cuál es la diferencia entre ellos? Me refiero a que si 3 es cierto lo que significa que tienen esta función. O no me malinterprete algo aquí?
Gracias!
