Si una función tiene una cantidad infinita de automorfismos, ¿eso implicaría que es periódica?

Question

Permita que$\phi(x)$ sea continuo y diferenciable en todas partes y sus automorfismos sean biyecciones$\gamma_{n}$ de forma que$\phi(\gamma_{n}(x))=\phi(x)$. Si el orden de$Aut(\phi)$ es infinito, ¿eso significaría que$\phi(x)$ es periódico?

Puedo pensar en un ejemplo de la parte superior de mi cabeza:$\phi(x)=sin(x)$ con automorfismos de la forma$\gamma_{n}(x)=x+2\pi n$. ¿Podría esto aplicarse a cualquier función general$\phi$?

Answer 1

Si no tenemos ninguna otra condición en$\gamma$, entonces está mal. Dejar $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2$. Luego, para cada$a > 0$ de la función$$\gamma: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\hspace{3mm} x \mapsto \begin{cases}-a & x \in \{a, -a\} \\ x & x \notin \{a, -a\}\end{cases}$ $

es tal un automorfismo. Por lo tanto, tenemos infinitamente muchos automorfismos. Pero$\phi$ no es periódico, por lo que este es un contraejemplo.