Cómo encontrar: $~\min\limits_{f\in E}(\int_0^1f(x) \,dx)$

Question

Me encontré con que el siguiente problema:

Que $E$ ser el conjunto de toda función continua $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ tal que % $ $$f(x)+f(y)\ge |x-y|\qquad\forall\,x,y\in [0,1]$

Luego encontrar $$\min_{f\in E}\left(\int_0^1f(x) dx\right)$ $

Lamentablemente no sé dónde empezar. Por favor darme ayude con un Consejo o una respuesta.

Ver también: minimizar $\min_{f\in E}\left(\int_0^1f(x) dx\right)$

Answer 1

Ajuste $y=1-x$, $f(x)+f(1-x)\geq |2x-1|$ y desde $\int_0^1 f(1-x) dx =\int_0^1 f(x) dx$, integrar para $$2\int_0^1 f(x)dx\geq \int_0^1 |2x-1| dx = \frac 12$ $\int_0^1 f(x) dx \geq \frac 14$ $ ahí.

Este límite es alcanzado $f:x\mapsto |x-\frac 12|$. La desigualdad de triángulo trivial rendimientos $f(x)+f(y)\ge |x-y|$ y $\int_0^1 f(x)dx= \frac 14$