Plazas en $\mathbb{Z}_p$ que no son plazas en $\mathbb{Z}$

Question

La siguiente pregunta surgió durante una conversación con un amigo mío: ¿hay algún entero $n$ tal que $n$ no es un cuadrado en $\mathbb{Z}$ pero es un cuadrado en cada campo $\mathbb{Z}_p$$p>n$?

Suena como una elemental pregunta, y estoy casi seguro que la respuesta es no (sobre todo debido a algunas memorias lejanas de la mía sobre un teorema de Hasse y Minkowsky), pero yo no era capaz de encontrar una respuesta definitiva.

Traté de aplicar algún Modelo de la Teoría, pero no creo que puede ser un fructífero camino a seguir. Otra cosa que he notado es que si puedo demostrar que hay un $a$ tal que $n=a^2$ en dos diferentes campos de $\mathbb{Z}_p$$\mathbb{Z}_q$, a continuación, la declaración debe ser falsa: de lo contrario, la escritura $$a^2=n+bp$$ and $$a^2=n+cq$$ for the smallest possible $b$ and $c$, we would have $bp=cq$, a contradiction since neither $b$ nor $c$ can be $0$. Pero, de nuevo, me quedé atrapado después de esta consideración. ¿Tienes alguna idea o sugerencia?

Answer 1

Este es el famoso falso plaza del problema (o, al menos, a mi me gusta llamar de esta manera).

Suponga que $n\in\mathbb{N}^+$ no es un cuadrado, pero se transforma en residuos cuadráticos $\!\!\pmod{p}$ para cualquier prime $p$. Deje $q_1,\ldots,q_k$ ser los primos que aparecen en la factorización de $n$ con un exponente impar ($k\geq 1$ desde $n$ no es un número entero cuadrado) y deje $\eta_k$ ser el mínimo cuadrática no-residuo $\!\!\pmod{q_k}$. Por Dirichlet del teorema no es un prime $r$ tal que $$r\equiv 1\!\!\!\!\pmod{4},\;r\equiv 1\!\!\!\!\pmod{q_1},\;\ldots\;, r\equiv 1\!\!\!\!\pmod{q_{k-1}},\; r\equiv \eta_k\!\!\!\!\pmod{q_k}.$$ Para tales prime $r$, por el multiplicativity del símbolo de Legendre y de la reciprocidad cuadrática tenemos:

$$\left(\frac{n}{r}\right)=\prod_{h=1}^{k}\left(\frac{q_h}{r}\right)=\prod_{h=1}^{k}\left(\frac{r}{q_h}\right)=-1$$ por lo tanto $n$ no es un residuo cuadrático $\!\!\pmod{r}$, contradicción.

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Uno podría preguntarse si existen enteros que difieren de la suma de dos entero no negativo, cubos, pero puede ser representado como $x^3+y^3\pmod{p}$ para cualquier prime $p\equiv 1\pmod{3}$. Desde que la no-trivial entero de soluciones de $a^3+b^3=c^3+d^3$ son conocidos como los números de taxis, que podemos llamar el problema que se presentó después de que el punto de ruptura como el falso taxi problema. (;P)