¿Qué es la abelianización de $SL(2,\mathbb{Z}_p)$ ?

Question

Cuál es la abelianización de los grupos $SL_2(\mathbb{Z}_p)$ donde $p$ es un número primo y $\mathbb{Z}_p$ denota $p$ -¿enteros adávicos?

Supongo que es $\mathbb{Z}/4$ para $p = 2$ y $\mathbb{Z}/3$ para $p = 3$ Aunque me gustaría ver una referencia o una prueba.

Answer 1

Supongo que te refieres a la abelianización topológica, es decir, al cociente por el cierre del subgrupo conmutador de la teoría de grupos.

La abelianización de $SL_2(\mathbb{Z})$ es $\mathbb{Z}/12$ y el subgrupo conmutador es un subgrupo de congruencia de índice 12 (véase, por ejemplo, el teorema 3.8 de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/SL(2,Z).pdf )

Por lo tanto, el mapa de abelianización se factoriza como: $$SL_2(\mathbb{Z})\rightarrow SL_2(\widehat{\mathbb{Z}})\rightarrow\mathbb{Z}/12$$ donde $\widehat{\mathbb{Z}}$ es la terminación profinita. Por otro lado, el subgrupo conmutador (topológico) de $SL_2(\widehat{\mathbb{Z}})$ es un subgrupo cerrado que ciertamente contiene el subgrupo conmutador de $SL_2(\mathbb{Z})$ . Desde $SL_2(\mathbb{Z})$ es denso dentro de $SL_2(\widehat{\mathbb{Z}})$ la factorización anterior implica que la abelianización de $SL_2(\widehat{\mathbb{Z}})$ también es $\mathbb{Z}/12$ .

Tenga en cuenta que $SL_2(\widehat{\mathbb{Z}}) = \prod_p SL_2(\mathbb{Z}_p)$ . Se puede comprobar que existen mapas suryectos $$SL_2(\mathbb{Z}_2)\rightarrow SL_2(\mathbb{Z}/4)\rightarrow\mathbb{Z}/4$$ y $$SL_2(\mathbb{Z}_3)\rightarrow SL_2(\mathbb{Z}/3)\rightarrow\mathbb{Z}/3$$

Como la abelianización de un producto directo es el producto directo de abelianizaciones, ya que estos dos mapas "generan" $\mathbb{Z}/12$ encontramos que $SL_2(\mathbb{Z}_p)$ debe tener una abelianización trivial para $p\ne 2,3$ y los mapas anteriores son las abelianizaciones de $SL_2(\mathbb{Z}_2),SL_2(\mathbb{Z}_3)$ .