Contraejemplo a Bolzano-Weierstrass en dimensión infinita

Question

A partir de Bolzano-Weirerstrass podemos demostrar que en un espacio vectorial normado $E$ de dimensión finita, toda sucesión acotada admite un punto límite.

¿Cuáles son algunos contraejemplos en dimensión infinita? ¿Existe un contraejemplo en todo espacio normado de dimensión infinita?

Creo que éste funciona: Deja $E$ sea el espacio de las sucesiones de números reales con soporte finito, dotado de la norma $\| (a_k)_{k \in \mathbb{N} } \|=\sup |a_k|$ . A continuación se define la secuencia $(s_n)$ como sigue: $s_n$ es la secuencia cuyo $n$ es el $1$ y cualquier otro término es $0$ . Entonces $(s_n)$ está acotada, y podemos demostrar fácilmente que no tiene punto límite.

Answer 1

Sí . Un espacio vectorial normado satisface la propiedad de Bolzano-Weierstrass (es decir, cualquier secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente) si y sólo si es de dimensión finita. Esto significa que existe un contraejemplo en cualquier espacio vectorial normado de dimensión infinita.

Sólo encontré el Artículo de Wikipedia en alemán para este resultado (teorema de compacidad de Riesz), pero utiliza Lema de Riesz para probarlo. Creo que la prueba de la dirección relevante podría funcionar algo así:

Prueba .

Sea $X$ sea un espacio vectorial normado de dimensión infinita.

Elija algunos $s_0\in X$ con $\|s_0\|=1$ . Para cualquier $i\in \Bbb N$ podemos definir $U_i:=\mathrm{span}(s_0,...,s_{i-1})\subseteq X$ como subespacio propio cerrado. Por el lema de Riesz existe $s_{i}\in X- U_i$ con $\|s_i\|=1$ y

$$d(s_{i},U_i):=\inf_{s\in U_i}\|s-s_{i}\|\ge 1/2.$$

La secuencia así construida es acotada, pero ninguna subsecuencia puede ser Cauchy, por lo tanto no convergente. $\square$

Answer 2

Considere $X=L^2[0,2\pi]$ y $E=\{\sin nx:n\in\mathbb N\}$ .

$E$ no tiene un punto límite en $X$ . Supongamos por lo demás que existe una subsecuencia $$\sin {n_k}x\to f(x)\in L^2[0,2\pi].$$ Entonces tendríamos que $$ \int_0^{2\pi} (\sin n_kx)^2\,dx- \int_0^{2\pi} f(x)\,\sin n_kx\,dx\to 0. $$ Pero $\int_0^{2\pi} f(x)\,\sin n_kx\,dx\to 0$ mientras que $\int_0^{2\pi} (\sin n_kx)^2\,dx=\pi$ .

Answer 3

Sí, ese es el contraejemplo obvio. No necesitas requerir soporte finito, cuando usas la norma supremum sólo necesitas que las secuencias estén acotadas. Sea la $j$ ª secuencia sea $k\to \delta_{jk}$ donde $\delta_{jk}$ es el delta de Kronecker. Cada elemento de la secuencia tiene norma $1$ y la distancia entre dos elementos cualesquiera es $1$ por lo que claramente esta es una secuencia acotada que y ninguna subsecuencia es Cauchy y por lo tanto no convergente.