¿Qué se quiere decir con el $\sigma$ -¿Álgebra generada por una variable aleatoria?

Question

A menudo, en el curso de mi (auto)estudio de la estadística, me he encontrado con la terminología " $\sigma$ -álgebra generada por una variable aleatoria". No entiendo el definición en Wikipedia Pero lo más importante es que no entiendo la intuición que hay detrás. ¿Por qué/cuándo necesitamos $\sigma-$ ¿algebras generadas por variables aleatorias? ¿Cuál es su significado? Sé lo siguiente:

• a $\sigma$ -en un conjunto $\Omega$ es una colección no vacía de subconjuntos de $\Omega$ que contiene $\Omega$ es cerrado bajo complemento y bajo unión contable.
• introducimos $\sigma$ -para construir espacios de probabilidad en espacios muestrales infinitos. En particular, si $\Omega$ es incontablemente infinito, sabemos que pueden existir subconjuntos inconmensurables (conjuntos para los que no podemos definir una probabilidad). Por lo tanto, no podemos utilizar el conjunto de potencias de $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ como nuestro conjunto de eventos $\mathcal{F}$ . Necesitamos un conjunto más pequeño, que siga siendo lo suficientemente grande como para poder definir la probabilidad de los sucesos interesantes, y podemos hablar de convergencia de una secuencia de variables aleatorias.

En resumen, creo que tengo una buena comprensión intuitiva de $\sigma-$ álgebras. Me gustaría tener una comprensión similar para las $\sigma-$ álgebras generadas por variables aleatorias: definición, por qué las necesitamos, intuición, un ejemplo...

Answer 1

Consideremos una variable aleatoria $X$ . Sabemos que $X$ no es más que una función medible de $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ en $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , donde $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ son los conjuntos de Borel de la recta real. Por definición de mensurabilidad sabemos que tenemos

$$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$$

Pero en la práctica las preimágenes de los conjuntos de Borel pueden no ser todas de $\mathcal{A}$ sino que pueden constituir un subconjunto mucho más grueso de la misma. Para ver esto, definamos

$$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$$

Utilizando las propiedades de las preimágenes, no es demasiado difícil demostrar que $\mathcal{\Sigma}$ es una sigma-álgebra. También se deduce inmediatamente que $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ Por lo tanto $\mathcal{\Sigma}$ es una sub-sigma-álgebra. Además, por las definiciones es fácil ver que el mapeo $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ es medible. $\mathcal{\Sigma}$ es, de hecho, la sigma-álgebra más pequeña que hace $X$ una variable aleatoria, ya que todas las demás álgebras sigma de ese tipo incluirían como mínimo $\mathcal{\Sigma}$ . Por la razón de que estamos tratando con preimágenes de la variable aleatoria $X$ llamamos $\mathcal{\Sigma}$ la sigma-álgebra inducida por la variable aleatoria $X$ .

He aquí un ejemplo extremo: considere una variable aleatoria constante $X$ Es decir, $X(\omega) \equiv \alpha$ . Entonces $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ es igual a $\Omega$ o $\varnothing$ dependiendo de si $\alpha \in B$ . La sigma-álgebra así generada es trivial y como tal, está definitivamente incluida en $\mathcal{A}$ .

Espero que esto ayude.

Answer 2

Intentaré ilustrar la intuición desde una perspectiva diferente, menos detallada técnicamente.

Supongamos 4 variables aleatorias $X_1,X_2,X_3$ y $Y=f(X_1,X_2)$ para una función arbitraria $f$ . Observe que $Y$ es aleatorio, pero se determina completamente para el $X_1, X_2$ , mientras que $X_3$ no se determina para los fijos $X_1, X_2$ . En otras palabras,

la aleatoriedad en $Y$ se debe exclusivamente a $X_1$ y $X_2$ .

¿Podemos expresarlo formalmente sin hacer referencia a la función $f$ ?

Esto es precisamente lo que la noción de $\sigma$ -álgebra generada por una variable aleatoria capta. Informalmente, podríamos decir que $\sigma(X)$ restringe el probabilismo del mundo a sólo $X$ deshabilitando cualquier otra fuente de aleatoriedad. En el ejemplo anterior, $\sigma((X_1,X_2))$ contiene $\sigma(Y)$ (o $Y$ es $\sigma((X_1,X_2))$ -medible), porque la aleatoriedad de $(X_1,X_2)$ contiene la aleatoriedad de $Y$ . Lo contrario sólo sería cierto si $f$ es un mapeo uno a uno.