Lugar $8$ Torres en un tablero de $10\times 10$.

Question

El Problema:-

"En el ajedrez, la torre de los ataques de cualquier pieza en la misma fila o columna como la torre, a condición de que ninguna pieza que hay entre ellas. De cuántas maneras puede $8$ torres colocarse en un $[8\times8]$ tablero de ajedrez de manera que no hay dos se atacan unas a otras? ¿Qué acerca de la $8$ torres en un $10\times10$ junta?"

Creo que tengo una respuesta para la primera parte de la pregunta. Cuando la colocación de la primera torre, hay 8 lugares en cada columna (o fila) para colocar la torre, dejando sólo 7 lugares diferentes de la columna (o fila) de la siguiente torre, y así sucesivamente, 8! posibles maneras de colocar las torres en tal manera que ellos no se atacan unas a otras ($P(8,8) = 8!/(8-8)! = 8!$).
Sin embargo, yo no estoy seguro de entender completamente cómo esto funciona para una junta en la que hay más filas y columnas de las piezas (como en un tablero de 10x10). No es $P(10,8) = 10!/(10-8)! = 10!/2$ ? Si es así, ¿por qué? Si no, ¿cómo debo enfocar este problema?

Este problema se encuentra en "Introducción a la Combinatoria y Teoría de grafos" por David Guichard.

Answer 1

Así que para la primera pregunta que usted necesita para colocar una torre en cada columna. La torre en la primera columna puede ir en $8$ lugares, la torre en la segunda columna, a continuación, ha $7$ posible filas etc.

En la segunda parte, deberá primero elegir el $8$ columnas de la $10$ disponibles y, a continuación, colocar una torre en cada una de las columnas. Si una vez más se mueve de izquierda a derecha, contando el número de posibilidades, que debe estar bien.

En lugar de hablar de "cualquier" columna o fila, usted debe hacer un hábito de definir el esquema de colaboración (el primer, segundo en lugar de "cualquier", etc). Esto ayudará a evitar una gran cantidad de confusión y puede también resaltar la doble contabilización.

Answer 2

Para la segunda parte, si nos centrarse en primer lugar en las columnas de las torres se encuentran en: puesto que no puede haber dos torres en la misma columna, las torres deben aparecer en $8$ columnas diferentes. Y usted puede elegir la $8$ columnas de $10$ en

$$10 \choose 8$$

maneras. Una vez que hemos elegido el $8$ columnas, vamos a colocar las torres en las columnas. Bien, usted puede colocar la primera torre en el $10$ diferentes filas, el siguiente en la $9$, etc. hasta la última, que se puede colocar en $3$ filas diferentes, por lo que podremos poner los $8$ torres de:

$$\frac{10!}{2!} = \frac{10!}{2}$$

maneras. Esto conduce a un gran total de:

$${10 \choose 8} \cdot \frac{10!}{2}$$

formas de colocación de $8$ torres en un $10 \times 10$ junta.

Answer 3

Este es un enfoque diferente de lo que se ha ofrecido hasta el momento, pero que podría ayudar a algunas personas a entender el problema de manera diferente.

Me gustaría resolver esto primero asumiendo el fin importaba cuando la colocación de las torres (así que poniendo en $A1$ $B2$ es diferente de $B2$$A1$), el ajuste de mi respuesta a compensar.

El número de plazas se puede colocar la primera torre es $10^2$. Donde quiera que lugar es, efectivamente transformar su placa en una $9 \times 9$ junta sin torres.

Ahora que hemos perdido a una fila y una columna de nuestra primera torre, el número de plazas se puede colocar la segunda torre es $9^2$.

Realización para cada torre, obtenemos:

$$10^2 \cdot 9^2 \cdot ... \cdot 3^2$$

Maneras de poner nuestra torres (no te olvides de nosotros sólo tiene $8$ torres, para no ir todo el camino a $1^2$). Recuerde, sin embargo, asumimos que el orden de los asuntos. En realidad, no. Sin embargo, sólo hay $8!$ diferentes maneras de ordenar nuestra torres, por lo que podemos dividir nuestra respuesta inicial por $8!$, dejando a:

$$ (10^2 \cdot 9^2 \cdot ... \cdot 3^2) / 8!$$

Formas para realizar nuestras torres.

Answer 4

Para el primer caso de la colocación de 8 torres en un tablero de 8 x 8 el resultado de 8! es correcto.

Para el segundo caso de la colocación de 8 torres en un tablero de 10x10 puedo encontrar el siguiente enfoque para ser la forma más sencilla para hacer los cálculos:

Hay 10*9/2 = 45 maneras de elegir cual de las dos filas que no va a utilizar. Asimismo hay 45 maneras de elegir cual de las dos columnas que no va a utilizar.

Una vez que haya elegido la que las filas y columnas de a no utilizar hay 8! maneras de colocar las torres en el resto de los cuadros.

Que da un total de 8!*452 = 81648000 posibilidades.