cómo calcular $a_n$ respecto a b?

Question

Asumir la secuencia ${a_n}$ ,$a_n\in \Bbb R\,$ se define por :

$$a_0=0\quad a_1=b\quad a_{n+1}=a_n\sqrt{1+a^2_{n-1}} +\sqrt{1+a^2_n} \quad,\;n\ge1$$ how calculate $a_n$ respecto a b? gracias de antemano

Answer 1

Uno puede asumir $b\geq0$. Poner $a_n(b):=a_n$, dado que el $a_1=b$. Luego, obviamente,$a_n(b)\geq a_n(0)=:a_n$.

Ahora $a_0=a_1=0$, $a_2=1$, y $a_3=1+\sqrt{2}>1$. La secuencia de $(a_n)_{n\geq0}$ está en claro aumento. De ello se desprende que para $n\geq 3$ hemos $$a_{n+1}\geq a_n\ \sqrt{1+a_{n-1}^2}\geq a_n\ \sqrt{1+a_2^2} =a_n \sqrt{2}\ ,$$ lo que implica que el $a_n$ crecer exponencialmente rápido a$\infty$$n\to\infty$.