Medición inexacta y colapso de la función de onda

Question

Como se suele decir, la medición de un observable $q$ conduce al colapso de la función de onda a un estado propio del operador correspondiente $\hat q$ . Es decir, ahora la función de onda en $q$ la representación es $\psi(q)=\delta(q-q_0)$ donde $q_0$ es el resultado de la medición.

Ahora bien, en la realidad las mediciones nunca son exactas, por lo que la función de onda no debería tener ese pico agudo. En su lugar, debería ensancharse dependiendo de la precisión de la medición. En este caso, ¿podemos introducir un operador, un estado propio del cual aparecería la nueva función de onda? ¿Es útil de alguna manera? ¿O la nueva función de onda depende demasiado de la forma en que se ha medido para que cada instrumento tenga su propio operador? ¿Cómo sería ese opeartor, por ejemplo, para un experimento de una sola rendija?

Answer 1

Con las mediciones imprecisas hay que utilizar la mecánica cuántica estadística más general en lugar de la simple mecánica cuántica de estado puro.

En concreto, en lugar de acabar con un estado cuántico puro, tras una medición imprecisa se tiene un estado "sucio" ( estado cuántico mixto ) que se ve difuminado por la incertidumbre en el sentido clásico. Esta mezcla de estado cuántico con incertidumbre clásica no puede ser representada por un único estado cuántico, pero sí por un matriz de densidad .

(En mi opinión, es una buena idea utilizar métodos estadísticos incluso cuando se trata de mediciones exactas. Así se pueden incluir cosas como la decoherencia ambiental).

Answer 2

En primer lugar, en rigor, como el espectro del operador de posición $X$ en $L^2(R)$ es puramente continua, la medida espectral $P_E$ está etiquetado por conjuntos de Borel $E\subset R$ Así que, en particular $E$ puede ser un intervalo $[a,b]$ . En la representación de la posición: $$\left(P_E \psi\right)(x) = \chi_E(x) \psi(x)\quad \forall x \in R$$ donde $\chi_E(z)=1$ si $z\in E$ o $\chi_E(z)=0$ de lo contrario. Al medir la posición de la partícula, si la precisión del instrumento es $2\delta>0$ para que no se pueda distinguir nada dentro del intervalo $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ la función de onda inmediatamente después de la medición es, hasta la normalización, $$\chi_{[x_0-\delta, x_0+\delta]}\psi$$ proporcionó $\psi$ era la función de onda antes de la medición y la posición encontrada era $x_0$ (teniendo en cuenta la precisión del instrumento).

Esto no es más que un caso particular de la von Neumann - Axioma de Luders sobre la medición cuántica que incluye tanto observables con espectro puntual como con espectro continuo. En el segundo caso, la noción de vector propio no puede aplicarse y, sin embargo, no es en absoluto necesaria. Basta con la noción de medida espectral asociada a un operador autoadjunto.

El hecho de que los instrumentos reales para observables con espectro continuo se describen realmente por ese axioma, incluso teniendo en cuenta la precisión como se ha hecho antes, es sin embargo cuestionable debido a muchas razones prácticas. Es más plausible que, en los experimentos reales (no destructivos) de posición, la función de onda después de la medición se obtenga a partir de la entrante a través de una llamada operación cuántica ( http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_operation ).