Tensor de producto y localización de números enteros

Question

Tengo esta duda sobre el tensor de productos.

Fijemos $p$ de una prima. Set $\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]$ la localización de $\mathbb Z$ $p$ $\mathbb{Z}_{(p)}$ la localización en el primer ideal $(p)$.

Ahora mi pregunta es la siguiente:

Es la canónica de morfismos de $\mathbb Z$-álgebras: $$\mathbb{Z}[\frac{1}{p}] \otimes_{\mathbb Z} \mathbb{Z}_{(p)}\rightarrow \mathbb Q$$ inducida por la multiplicación $\mathbb{Z}[\frac{1}{p}] \times\mathbb{Z}_{(p)}\rightarrow \mathbb Q,\ (x,y) \mapsto xy$, un isomorfismo?

Mi conjetura es que sí para cada racional $\frac{a}{b}$ puede ser factorizado en el formulario $\prod_i p_i^{\alpha_i}$ $\alpha_i\in\mathbb Z$ , con lo que podemos poner cada fracción $\frac{a}{b}$ bajo la forma$\frac{m}{p^\alpha n}$$p \nmid n$$(m,n)=1$.

Yo luego construir el mapa: $$\frac{m}{p^\alpha n} \mapsto \frac{1}{p^\alpha}\otimes \frac{m}{n}$$ a su inversa.

Esta es una prueba válida? Se luzca más elegante pruebas?

Answer 1

Usted tiene la idea correcta, pero la prueba no es completa. Se ha demostrado que la multiplicación de mapa de $f:\mathbb{Z}[1/p]\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}_{(p)}\to\mathbb{Q}$ es surjective, pero no se ha demostrado que es inyectiva. Si definimos $g:\mathbb{Q}\to \mathbb{Z}[1/p]\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}_{(p)}$ $g(\frac{m}{p^\alpha n})=\frac{1}{p^\alpha}\otimes\frac{m}{n}$ como usted sugiere, entonces es claro que $f\circ g$ es la identidad, pero no está claro que $g\circ f$ es la identidad o que $g$ es incluso un homomorphism. Esto sería suficiente para probar que el $f$ es inyectiva. Usted puede comprobar esto directamente, pero es un poco desordenado.

En lugar de eso, les sugiero que prueben que la multiplicación de mapa de $\mu:\mathbb{Z}[1/p]\times\mathbb{Z}_{(p)}\to\mathbb{Q}$ tiene la característica universal del producto tensor. Dado un bilineal mapa de $\nu:\mathbb{Z}[1/p]\times\mathbb{Z}_{(p)}\to A$ para un grupo abelian $A$, se puede definir $h:\mathbb{Q}\to A$$h(\frac{m}{p^\alpha n})=\nu(\frac{1}{p^\alpha},\frac{m}{n})$. Está claro que este es el único posible mapa de $h:\mathbb{Q}\to A$ tal que $h\circ\mu=\nu$, por lo que sólo tiene que demostrar que $h\circ\mu=\nu$ es realmente cierto y que $h$ es un homomorphism. Trate de probar este uso de la bilinearity de $\nu$.

Alternativamente, si usted sabe que el producto tensor de álgebras es el subproducto en la categoría de álgebras, se puede demostrar que la inclusión de mapas de $i:\mathbb{Z}[1/p]\to\mathbb{Q}$ $j:\mathbb{Z}_{(p)}\to\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$ un subproducto de $\mathbb{Z}[1/p]$ $\mathbb{Z}_{(p)}$ en la categoría de $\mathbb{Z}$-álgebras. Es decir, que quieren demostrar que dado $\mathbb{Z}$-álgebra homomorphisms $a:\mathbb{Z}[1/p]\to A$$b:\mathbb{Z}_{(p)}\to A$, no hay una única extensión de ambos $a$ $b$ $\mathbb{Z}$- álgebra homomorphism $c:\mathbb{Q}\to A$. Usted puede comprobar esto mediante la característica universal de la localización, la cual nos indica que la única homomorphism $\mathbb{Z}\to A$ se extiende (exclusivamente) a $\mathbb{Z}[1/p]$ fib $p$ se asigna a una unidad, se extiende (exclusivamente) a $\mathbb{Z}_{(p)}$ fib cada número entero no divisible por $p$ se asigna a una unidad, y se extiende (exclusivamente) a $\mathbb{Q}$ fib cada número entero distinto de cero se asigna a una unidad. Tan sólo tienes que demostrar que todo número entero distinto de cero es una unidad en $A$ fib $p$ es una unidad y cada número entero no divisible por $p$ es una unidad en $A$.