En la estadística de la escuela secundaria, ¿por qué parece que las ecuaciones caen del cielo

Question

Esta es una observación seria de mi experiencia tomando Estadísticas AP. Se nos da un montón de fórmulas inexplicables y se espera que les demos sentido en aplicaciones del mundo real sin saber por qué se sostienen. En las clases de álgebra, al menos puedo unir mi intuición numérica con los materiales para construir una ecuación, pero en estadística no utilizamos ese razonamiento para llegar a las ecuaciones, sino que se nos dan las ecuaciones y tenemos que pensar en ellas en un contexto basado en las aplicaciones. Cuando le pregunto a mi profesor no parece muy receptivo a la idea de explicar las ecuaciones desde el puro sentido común, en su lugar habla de lo que significan los símbolos.

Answer 1

Había una vez un analfabeto que fue reclutado como estudiante por una prestigiosa universidad porque era un talentoso jugador de fútbol y lo querían mucho en el equipo. En un examen parcial le preguntaron "¿Cuándo fue la Guerra de 1812?". Él respondió "No lo sé", y eso era innegablemente correcto, así que aprobó en lugar de suspender, por lo que pudo seguir en el equipo, y todos vivieron felices para siempre.

Las matemáticas son una asignatura obligatoria para todos, incluso para los que no quieren aprenderlas. Eso es un delito. Una consecuencia es que Los cursos de matemáticas se imparten de la misma manera que el curso de ese futbolista. De esa manera pueden hacer pasar a todos. Digamos que a los estudiantes se les dice que la varianza es $$ \frac1n\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2,\text{ where }\bar x = \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}. \tag1 $$ (La versión con $n-1$ en el denominador en lugar de $n$ se utiliza SÓLO cuando estimación una desviación estándar de la población basada en una desviación estándar de la muestra, y el argumento convencional para hacerlo es inmensamente más débil de lo que la mayoría de los que enseñan estadística parecen sospechar, y en todo caso tengo una razón para evitarlo aquí).

Un estudiante inteligente que quiera entender se preguntará por qué la raíz cuadrada de la cantidad en $(1)$ se utiliza en lugar de la desviación media absoluta $$ \frac1n\sum_{i=1}^n |x_i - \bar x|. \tag2 $$ ¿Y qué pasa si el profesor intenta explicarlo? Los alumnos dicen "¿Por qué tenemos que aprender esto? Ese otro profesor no hace que sus alumnos aprendan esto. Aprender eso es un precio demasiado alto para obtener un sobresaliente en este curso". Consideran que el aprendizaje del material es un precio que pagan para obtener una nota, en lugar de la cosa a la que se presentaron. La solución razonable es expulsarlos y dar un curso para estudiantes honestos. Pero los políticos dicen "¡Ese otro país de allí está lleno de estudiantes que han superado a los nuestros en los exámenes estandarizados demostrando que han memorizado esta fórmula sin entender nada!!! Nos masacrarán en una guerra nuclear la semana que viene si no hacemos que nuestros alumnos hagan lo mismo!!!!". Todos, incluidos los profesores, se creen cada palabra y condenan duramente a todos los que no están de acuerdo y quieren pagar más impuestos para que los alumnos memoricen la fórmula $(1)$ arriba. Y no se puede abarcar todo lo que aparecerá en el examen estandarizado y aún así tener tiempo para acomodar a los estudiantes inteligentes que hacen preguntas sobre cosas como esta. Hay que decirles que los estudiantes que quieren convertirse en obreros analfabetos son para quienes es el curso de estadística y los estudiantes curiosos e inteligentes deben aprender su lugar y no portarse mal en clase mientras sus compañeros más tontos hacen lo que ni ellos ni nadie quiere hacer.

Volveré más tarde y quizás añada algo sobre el por qué $(1)$ en lugar de $(2)$ . La versión corta: porque la varianza de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de las varianzas.

PS: También hay algo menos inocente: La gente en muchos campos puede querer utilice los resultados matemáticos que se derivan de la estadística sin ser necesariamente capaces de entender la teoría.

PPS: Muy bien, ¿por qué la raíz cuadrada de $(1)$ utilizado como medida de dispersión, en lugar de $(2)$ ? Ambos tienen la propiedad de que si se multiplica $x_i$ por $c$ para $i=1,\ldots,n$ se multiplica la medida de dispersión por $|c|$ . También tienen la propiedad de que añadir $c$ a cada $x_i$ no altera la medida de la dispersión. Esas dos propiedades juntas hacen que ambas sean medidas de dispersión.

Así que encuentra la varianza de este conjunto de números: $1,2,3$ y también éste: $1,2,3,4$ . ¿Cuál es la suma de las dos variables aleatorias independientes? Mira esta tabla de suma: $$ \begin{array}{|r|ccc|} \hline & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \end{array} $$ Las sumas son: $2,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,7$ . Encuentra la varianza de los números de esa lista. Será la suma de las varianzas encontradas anteriormente.

Se puede demostrar que esto funciona en general, y no es difícil.

Una consecuencia es que se puede aplicar el teorema del límite central a sumas como $X_1+\cdots+X_n$ y se sabe cuál será la varianza de la suma de las muchas variables aleatorias.

PPPS: Que la suma de las varianzas sea igual a la varianza de la suma, cuando se suman variables aleatorias independientes, no funciona cuando se utiliza $n-1$ en lugar de $n$ . Eso es lo que tenía en mente cuando dije que tenía una razón para evitar eso aquí.

Answer 2

1. La estadística es una de las partes de las matemáticas que sería útil para la gran mayoría de los ciudadanos. Por eso es útil enseñarla incluso en clases no especializadas.

2. Los conceptos sobre la probabilidad son muy difíciles de definir. Son fáciles de explicar de forma superficial, pero muy difíciles de formalizar.

3. Los teoremas son bastante difíciles de demostrar, requieren un conocimiento matemático muy elevado.

Answer 3

Como alguien que ha enseñado "Matemáticas para empresas", la enseñanza de la estadística a cualquiera que no tenga al menos un par de años de matemáticas universitarias en su haber es muy difícil. En muchos sentidos es tan desagradable para el instructor como para los estudiantes.

Cada una de esas fórmulas podría llevar un día entero de clase o más para derivar los principios básicos. Derivar todas esas fórmulas es el tema de un curso universitario de matemáticas de nivel superior. Simplemente no tienes las herramientas necesarias para entender las pruebas.

Las matemáticas son un lenguaje. Lo que haces en tu clase de estadística es el equivalente a que te den un libro de frases en un idioma extranjero. Puedes encontrar el baño con él, pero no hay manera de que puedas expresar ideas complejas.

Considérelo como una clase de taller con fórmulas en lugar de herramientas eléctricas. La intención es que aprendas algunos de los usos y limitaciones de las herramientas, no que aprendas a diseñar nuevas herramientas.

Answer 4

Es lo mismo en la universidad.

En mi opinión, los verdaderos culpables son todos los estudiantes que quieren fingir que son científicos pero no pueden manejar el rigor de las matemáticas. Tienen que hacer cursos de estadística, pero no podrían manejar el material si se enseñara correctamente, así que los cursos se convierten en "memorizar, aplicar y rezar".

Tampoco diría que los cursos de "matemáticas puras" son completamente inocentes. No es raro ver intentos de evitar tener que demostrar cosas simplemente con definiciones extremadamente (innecesariamente) complejas.

Answer 5

La probabilidad, y por extensión la estadística, es una asignatura difícil. Los problemas de urna y similares son bastante sencillos, pero la dificultad aumenta bruscamente a partir de ahí. Muchas ideas de la Probabilidad son difíciles de formalizar sin utilizar matemáticas mucho más sofisticadas, por ejemplo, la medida. Las ideas parecen ser lanzadas de la nada, sobre todo porque, para hacerlas de una manera "adecuada", se necesitarían más recursos de los que tienen la mayoría de los institutos. Por no hablar de una madurez matemática superior a la que poseen la mayoría de los estudiantes de secundaria.

Sin embargo, si te interesa, deberías poder encontrar explicaciones razonablemente buenas para tus preguntas con unas cuantas búsquedas en Internet. En la universidad, el problema sigue estando ahí, a no ser que tomes cursos de Matemáticas y Estadística de mucho mayor nivel.