$K,L$ son campos, $K\subseteq L$ . $f,g \in K[x]$ . Supongamos que $f,g$ son relativamente primos como elementos de $K[x]$ . Demuestra que siguen siendo relativamente primos en $L[x]$ .
He probado todo lo que se me ocurre. Siento que trabajar con el contrapositivo puede ser útil, pero es sólo una sensación.
Una pista: Tenga en cuenta que La identidad de Bezout es válida para anillos de polinomios en una variable sobre un campo, ya que tales anillos son dominios ideales principales (PID) :
$$f,g\in F[x]\text{ relatively prime }\iff \exists a,b\in F[x]\text{ such that }af+bg=1.$$
Utilícelo tanto con $F=K$ y $F=L$ .
La respuesta de Zev es en cierto sentido la canónica, pero aquí hay otro punto de vista, que es menos elegante, pero quizás más intuitivo.
Podemos incrustar $L$ en su cierre algebraico $\overline{L}$ el cierre algebraico de $K$ sur $\overline{L}$ es entonces un cierre algebraico de $K$ .
Ahora $f$ y $g$ coprima en $K[x]$ significa que tienen raíces distintas en $\overline{K}$ . Pero estas son también las raíces de $f$ y $g$ sur $\overline{L}$ y así $f$ y $g$ tienen distintas raíces en $\overline{L}$ . Así, $f$ y $g$ son coprimos en $L[x]$ también.
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