"Teorema del Valor intermedio" para las curvas

Question

Deje $f$ ser un continuo función real definida en la unidad de la plaza de $[0,1]\times[0,1]$, de tal manera que $f(x,0)=-1$$f(x,1)=1$.

Si caminamos de $y=0$ $y=1$en cualquier camino, debemos cruzar algún punto donde $f=0$. Intuitivamente, hay conectado un "muro" (una curva) que separa a $y=0$$y=1$, en el que $f=0$, como este:

Mi pregunta es: ¿hay un teorema que formaliza esta intuición (si es correcto)? En particular: hay un teorema que implica que existe un ramal de la línea que va de $x=0$$x=1$, en el que $f=0$, como en la imagen?

Answer 1

EDIT 2: La pregunta ha sido cambiado para que no pregunte por una curva, pero para un conjunto conectado. El de abajo ya no se aplica, pero lo dejo aquí en el caso de que otros la encuentren útil.

EDIT: La versión original de la pregunta era clara; ahora que se ha aclarado que uno busca en una curva a lo largo de la cual $f=0$, creo que la afirmación es falsa.

En primer lugar, es obvio que

1) El sub y super conjuntos de nivel donde$f<0$$f>0$, respectivamente, están separados, y

2) El nivel de $f^{-1}(0)$ no tiene que ser una curva (pensemos por ejemplo $$f(x,y) = \begin{cases}0, &\frac{1}{4} < y < \frac{3}{4}\\4y-3, &y\geq\frac{3}{4}\\4y-1, &y \leq \frac{1}{4}.\end{cases}$$

Ahora a tu pregunta (si estoy interpretando correctamente) es si el nivel cero conjunto contiene algunos curva continua. No creo que esto sea necesariamente el caso. Considere, por ejemplo, el conjunto de $S$ dado por dos copias de la topologist de la curva sinusoidal: $$S = \left\{ \left( x,\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin\frac{1}{2x-1}\right)\ \Big\vert\ x \neq \frac{1}{2}\right\} \cup \left\{\left(\frac{1}{2},y\right)\ \Big\vert\ 0 \leq y \leq 1\right\}.$$

$S$ es cerrado y por lo que la función de distancia $d(x,y)$ $(x,y)$ $S$está bien definido y continuo. También se define una función sign $\epsilon(x,y)$ a 1 y -1 por debajo de la curva sinusoidal, es decir,

$$\epsilon(x,y) = \begin{cases}\textrm{sign}\left(y-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin\frac{1}{2x-1}\right), &x\neq \frac{1}{2}\\0, & x = \frac{1}{2}\end{cases}$$ y establecer $f=\epsilon d$ para obtener un contraejemplo donde $f^{-1}(0)$ no es trayectoria-conectado.

(Esta $f$ no responde exactamente a satisfacer sus condiciones de contorno en $y=\pm 1$, pero esto podría ser corregido por ejemplo, mediante la toma de $f(x,y) = (\epsilon d)(x,[4y-1]/2)$ $y\in (1/4,3/4)$ y se extiende de forma adecuada.)

Answer 2

Sí, hay un teorema de Topología (cf. `Topología,' por James R. Munkres) que dice que si $X$ $Y$ son espacios topológicos, y si $f:X\to Y$ es continua, y si $X$ está conectado, a continuación, $f(X)$ está conectado. Además, si $A$ está conectado a un subconjunto de la recta numérica real, a continuación, $A$ debe ser un intervalo. Para aplicarlo a su caso: La imagen de un camino de $y=0$ $y=1$está conectado a un subconjunto de la plaza. A continuación, aplicar los resultados anteriores.

Answer 3

La conversión de mi comentario a un flojo idea de la prueba:

Asumir que no es verdad - es decir, el conjunto de ceros de f no está conectado entre x=0 y x=1. Luego hay 2 discontinuo abrir conjuntos, a y B, uno que contiene el x=0 lado, y el otro que contiene el x=1 lado, que cubren todo el conjunto de ceros. Ahora vamos a demostrar que en el resto de la pieza de la plaza no cubierta por a o B no es un componente conectado al tocar y=0 y y=1. Este contiene una ruta de acceso donde f es distinto de cero (bueno, no exactamente un camino, pero sería una especie de ruptura de la noción de 'cada conexión entre los dos lados debe ser igual a cero en algún lugar'). De nuevo, supongamos lo contrario, por lo que hay 2 distintos bloques abiertos, C y D, que contiene y=0, y el otro que contiene y=1, que cubren la parte restante de la plaza.

Ahora podemos demostrar que los límites de a y C, $\partial A$ $\partial C$ intersect - con una mano-saludando con la mano, el componente conectado de Una contiene todo x=0 lado tiene puntos tanto en el interior de la C: (0, 0), y los puntos en el interior del complemento de C: (0, 1), y desde el que se conecta, también debe tener los puntos en la frontera de C, y el límite de los puntos de estos aún están en el límite de C, pero también estará en el límite de A. Ahora la mirada en un solo punto de $x \in \partial A \cap \partial C$. No es dentro de Una o C, ya que están abiertos, pero también puede ser en B o D. Por ejemplo, si asumimos $x \in B$, entonces no es una vecindad de x totalmente contenida en B, y por lo tanto disjunta de a, la cual es una contradicción con $x \in \partial A$. Por lo que x no es en $A \cup B \cup C \cup D$, lo cual es una contradicción, se supone que los 4 juegos de la cubierta de la plaza.