Sabemos de Cauchy de la Integral fórmula que si $f:D \rightarrow \mathbb C$ es holomorphic y $\gamma$ es a puerta cerrada curva simple en el disco $D$, que $$ f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \! \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} \, d\zeta $$ para todos los $z \in D$ $z$ dentro de la imagen de $\gamma$. Si en lugar de ser holomorphic $f$ es meramente continua en la imagen de $\gamma$, todavía podemos obtener una función de holomorphic $$ F(z) = \int_\gamma \! \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} \, d\zeta. $$ Mi pregunta es: ¿qué sabemos acerca de cómo $f$ $F$ se relacionan?
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Jedi Master Spooky
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La transformación $$F(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{T}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta,$$ donde $\mathbb{T}$ denota el círculo unidad, está fuertemente relacionada con el llamado de Cauchy transformar.
Usted encontrará una gran cantidad de información en la exposición de papel El de Cauchy transformar por José A. de la Cima, Alec Matheson, y William T. Ross.
En fin que decir algo bueno acerca de la transformación en general las curvas de $\gamma$ usted sería sin duda la condición de necesidad en la parametrización de la curva.
También tenga en cuenta que para $|z|<1$ podemos considerar que la serie geométrica de expansión $$\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{\zeta}\frac{1}{1-\bar{\zeta}z}=\frac{1}{\zeta}\sum_{k=0}^\infty \bar{\zeta}^kz^k$$ (aquí suponemos $\zeta\in\mathbb{T}$, de modo que $\bar{\zeta}\zeta=|\zeta|^2 =1$ y, por tanto,$\bar{\zeta}=1/\zeta$) que converge uniformemente en $\zeta$. El uso que en la integral anterior fórmula conduce a $$\frac{1}{2\pi i}\int_\mathbb{T} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta = \frac{1}{2\pi i}\int_\mathbb{T} \frac{1}{\zeta}\sum_{k=0}^\infty f(\zeta)\bar{\zeta}^kz^k d\zeta$$ Entonces, si partimos $\zeta=e^{it}$, de modo que $d\zeta=ie^{it}dt =i\zeta dt$, llegamos a $$F(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \sum_{k=0}^\infty f(e^{it})e^{-ikt}z^k dt$$ cambios en el orden de la suma y la integración conduce a $$F(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(e^{it})e^{-ikt}z^k dt =\sum_{k=0}^\infty\hat{f}(k)z^k$$ Que es $F$ es la analítica, la proyección de la expansión de Fourier de $f$.
