¿Cómo resolver este Inicial valor de límite de la PDE problema? [SOLUCIONADO]

Question

Hoy me encontré con una pregunta sobre la PDE que me hace realmente frustrante.

La cuestión es resolver este primer problema de valor de frontera usando el método de separación de variables:

$$u_{tt}=9u_{xx}\text{ for } x>0, t>0$$

$$u(x,0)=x^2 ,\ u_t(x,0)=e^{-x} \text{ for } x>0$$

$$u(0,t)=0 \text{ for }t>0$$

Respuesta: $u(x,t)=x^2+9t^2+\dfrac{1}{3}e^{-x}\sinh3t$ $x-3t>0$

$$u(x,t)=\begin{cases}x^2+9t^2+\dfrac{1}{3}e^{-x}\sinh3t&x-3t>0\\x^2+9t^2+\dfrac{1}{3}e^{-3t}\sinh x&x-3t<0\end{cases}$$

Yo realmente no sé cómo resolver esta cuestión, ya que sólo proporcionan 1 de la condición de límite sólo.

Podría alguien por favor mostrar algunos trabajos en este problema, por lo que puedo undesrtand claramente. Además, yo no tengo ejemplo de esta cuestión en mi libro de texto. Y mi maestro no se puede hacer porque él dijo que él no es bueno en la PDE capítulo. Im realmente muerto porque nadie capaz de ayudarme a mí y a mis amigos también, no estoy seguro acerca de esto. Así que por favor por favor me ayude a resolver esta pregunta sólo para que yo pueda utilizar esta solución como referencia para resolver mis otros problemas de ecuaciones en derivadas parciales por el mío.

Por último, si usted me puede ayudar, voy a ser realmente muy agradecido.

Answer 1

Tenga en cuenta que cuando sin la condición de $u(0,t)=0$ este es, de hecho, acaba de determinar el problema y la solución puede ser expresada mediante la fórmula de D'Alembert $u(x,t)=\dfrac{(x+3t)^2+(x-3t)^2}{2}+\dfrac{1}{6}\int_{x-3t}^{x+3t}e^{-s}~ds=\dfrac{x^2+6xt+9t^2+x^2-6xt+9t^2}{2}-\dfrac{1}{6}[e^{-s}]_{x-3t}^{x+3t}=\dfrac{2x^2+18t^2}{2}-\dfrac{e^{-x-3t}-e^{-x+3t}}{6}=x^2+9t^2+\dfrac{e^{-x}\sinh3t}{3}$

Compruebe $u(0,t)$ :

$u(0,t)=9t^2+\dfrac{\sinh3t}{3}\neq0$

$\therefore$ , Se debe utilizar el resultado en http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde201.pdf:

La solución es $u(x,t)=\begin{cases}\dfrac{(x+3t)^2+(x-3t)^2}{2}+\dfrac{1}{6}\int_{x-3t}^{x+3t}e^{-s}~ds&\text{when}~x-3t>0\\\dfrac{(x+3t)^2-(3t-x)^2}{2}+\dfrac{1}{6}\int_{3t-x}^{x+3t}e^{-s}~ds&\text{when}~x-3t<0\end{cases}=\begin{cases}\dfrac{x^2+6xt+9t^2+x^2-6xt+9t^2}{2}-\dfrac{1}{6}[e^{-s}]_{x-3t}^{x+3t}&\text{when}~x-3t>0\\\dfrac{x^2+6xt+9t^2-(9t^2-6xt+x^2)}{2}-\dfrac{1}{6}[e^{-s}]_{3t-x}^{x+3t}&\text{when}~x-3t<0\end{cases}=\begin{cases}\dfrac{2x^2+18t^2}{2}-\dfrac{e^{-x-3t}-e^{-x+3t}}{6}&\text{when}~x-3t>0\\\dfrac{12xt}{2}-\dfrac{e^{-x-3t}-e^{-3t+x}}{6}&\text{when}~x-3t<0\end{cases}=\begin{cases}x^2+9t^2+\dfrac{e^{-x}\sinh3t}{3}&\text{when}~x-3t>0\\6xt+\dfrac{e^{-3t}\sinh x}{3}&\text{when}~x-3t<0\end{cases}$