Acerca de la probabilidad conjunta, dividido por el producto de las probabilidades

Question

Deje $X$ $Y$ dos eventos.

Por lo $P(X)$ es la probabilidad de $X$ sucede, y $P(Y)$ es la probabilidad de $Y$ sucede. Por lo $P(X,Y)$ es la probabilidad de que ambos $X$ $Y$ a suceder.

Entonces, ¿cuál es el significado de la siguiente función: $h(X,Y)=\frac{P(X,Y)}{P(X)P(Y)}?$

Sé que cuando $h=1$, significa $X$ $Y$ son independientes. Entonces, ¿cuál es la situación cuando

$h>1$ o $h<1$?

Answer 1

Ya que usted dice $X$ $Y$ acontecimientos, me deja cambiar el nombre de ellos $A$$B$, para evitar confundirlos con variables aleatorias.

Entonces, al menos en el medio ambiente, medicina y ciencias de la vida de la literatura, $P(A\cap B)/(P(A)P(B))$ se llama observado que espera ratio (abreviatura s/e). La idea es que el numerador es la probabilidad de $A\cap B$, mientras que el denominador es lo que sería si $A$ $B$ eran independientes.

Obviamente la relación o/e es $1$ si $A$ $B$ son independientes. La relación s/e es de más de $1$ si $A$ es favorecido por $B$ o, equivalentemente, si $B$ es favorecido por $A$, y está a menos de $1$ si el contrario tiene.

En el análisis estadístico de las secuencias genómicas, la relación de CpGo/e es especialmente importante, que representa la frecuencia de la palabra CG dividida por el producto de las frecuencias de las letras C (citosina) y G (guanina), ver aquí para ver un ejemplo. La idea es que en los no funcionales porciones del genoma, CpGo/e es mucho menor que $1$ debido a algunos conocidos procesos biológicos y químicos (una de metilación de la desaminación de la guanina cuando está junto a una citosina, si usted quiere saber). Por el contrario, en las porciones del genoma llamado islas CpG, CpGo/e es sólo ligeramente menor que el $1$ o, incluso, más de $1$, un hecho que los testigos de una represión de estos procesos y, como consecuencia, puede ser una señal de algunas regiones funcionales.

Answer 2

Usted podría notar (asumiendo que usted sabe acerca de la condicional probabilites) que $$h(X,Y) = \frac{P(X Y )}{P(X) P(Y)} = \frac{P(X|Y)}{P(X)}= \frac{P(Y | X)}{P(Y)}$$

De ahí, por ejemplo, $h(X,Y) > 1 \Leftrightarrow P(X |Y) > P(X)$ que, de manera informal, dice que la ocurrencia de evento $Y$ incrementa la probabilidad de evento $X$ ocurring (y viceversa). Y eso es todo. Recuerde, sin embargo, aquí $X,Y$ son los hechos, no las variables , es decir., no tiene sentido decir que, e.g, $h(X,Y) > 1$ para algunas variables $X,Y$ a nivel mundial, (por lo que podríamos decir que las variables son "positivamente dependiente" o algo así). Para medidas generales de variables aleatorias de la dependencia (o de correlación, que es un derivado aunque más débil de la propiedad), ver aquí.

Agregado: Si consideramos que los eventos como dos conjunta de variables de Bernoulli (identificar el evento $X$ con la probabilidad de que la variable es igual a 1, $P(X=1)=p_X$ ), podemos observar que la covarianza es dado por $Cov_{X Y} = E(X Y) - E(X)E(Y)=p_{XY} - p_X \,p_Y$ y, a continuación, $$h(X,Y) = \frac{1}{1+Cov_{X Y}/p_{XY}}$$