Primero nos recuerdan el siguiente resultado general:
Dado un marco de $({\bf w}_a)$ (es decir, $n$ (pointwise) linealmente independiente de vectores de los campos de ${\bf w}_1, \ldots, {\bf w}_n$) en un subconjunto $U \subseteq \Bbb R^n$ (o, de hecho, en cualquier variedad diferenciable), los siguientes son equivalentes:
- Para cualquier $p \in \Bbb R^n$ hay locales de coordenadas $(u^a)$ en algunas de conjunto abierto que contiene a $p$ que $$\frac{\partial}{\partial u^a} = {\bf w}_a, \quad a = 1, \ldots, n.$$
- Todos los de la Mentira corchetes $[{\bf w}_a, {\bf w}_b]$ de la estructura están idénticamente cero; en este caso decimos que los campos vectoriales ${\bf w}_a$ conmutar (pares).
(Esto se puede encontrar, por ejemplo, como el Teorema de 18.6 Lee en la Introducción a la Suave Colectores---por desgracia, la página en cuestión no es previewable con la búsqueda de Libros de Google.)
Si descomponemos ${\bf w}_a = \sum_i {\bf w}_a^i \frac{\partial}{\partial x^i}$, entonces la Mentira de soporte está dado por
$$[{\bf w}_a, {\bf w}_b] = \sum_{i, j} \left({\bf w}_a^j \frac{\partial}{\partial_j} {\bf w}_b^i - {\bf w}_b^j \frac{\partial}{\partial_j} {\bf w}_a^i\right) \frac{\partial}{\partial_i}.$$
Ahora, queremos saber cuando podemos escala de los campos vectoriales ${\bf v}_a$ en un fotograma determinado, respectivamente, por suave, nonvanishing funciones de $f_a$, de modo que los campos vectoriales $f_a {\bf v}_a$ son las coordenadas del vector de campos para algunas coordenadas $(u_a)$, y por el resultado anterior este es el caso (al menos localmente) iff no son lisas, nonvanishing funciones de $f_a$ tal que
$$[f_a {\bf v}_a, f_b {\bf v}_b] = 0$$
para todos los $a, b$. (De hecho, por antisymmetry de la Mentira de soporte sólo tenemos que comprobar esto $a < b$.) Sustituyendo ${\bf w}_a = f_a {\bf v}_a$ en la fórmula anterior por la Mentira de soporte que le da que esto es equivalente a la existencia de un (local) solución del sistema
$$\color{#3f3fff}{\sum_{j} \left[f_a {\bf v}_a^j \frac{\partial}{\partial_j} (f_b {\bf v}_b^i) - f_b {\bf v}_b^j \frac{\partial}{\partial_j} (f_a {\bf v}_a^i)\right] = 0, \quad a < b, \quad i = 1, \ldots, n \qquad (\ast)}$$
de $\frac{1}{2} n^2 (n - 1)$ ecuaciones diferenciales parciales en el $n$ funciones $f_a$.
(Ninguna de estas consideraciones [y, en particular, este sistema] depende de la métrica, de plano, pero podemos simplificar este sistema un poco el uso de la ortogonalidad de la condición, que en la anterior notación podemos escribir como el sistema de
$$\sum_i {\bf v}_a^i {\bf v}_b^i = 0, \quad a < b$$
de $\frac{1}{2} n (n - 1)$ ecuaciones algebraicas.
Diferenciando con respecto a $j$ y reorganizar da
$$\sum_i {\bf v}_a^i \frac{\partial}{\partial_j} {\bf v}_b^i = -\sum_i {\bf v}_b^i \frac{\partial}{\partial_j} {\bf v}_a^i,$$ and if we expand $(\ast)$ usando la regla del producto, se puede utilizar para combinar dos de los cuatro términos resultantes en el sumando.)
Podemos simplificar el sistema de otra manera, es decir, usando el hecho de que (estrechamente relacionado con el resultado en el comienzo de esta respuesta) que, dado un solo nonvanishing campo de vectores $\bf a$, al menos localmente, siempre podemos escoger las coordenadas de $(t^a)$ tal que $\frac{\partial}{\partial t^1} = {\bf a}$. Por definición en estas coordenadas tenemos ${\bf a}^1 = 1$${\bf a}^2 = \cdots = {\bf a}^n = 0$.
Por ejemplo, en el caso de $n = 2$, si denotamos nuestras coordenadas adaptado en el sentido indicado anteriormente por $(x, y)$, y el marco determinado por $({\bf a}, {\bf b})$, el sistema de ecuaciones diferenciales en la escala de funciones, digamos, $f(x, y), g(x, y)$ se simplifica a
\begin{align}
0 &= g {\bf b}^1 f_x + g {\bf b}^2 f_y - f g_x {\bf b}^1 - f {\bf b}^1_x g \\
0 &= f \left( g_x {\bf b}^2 + g {\bf b}^2_x \right) ,
\end{align}
donde, como de costumbre, para mejorar la legibilidad de los argumentos de las funciones son suprimidos y los subíndices denotan diferenciación w.r.t. la variable dada.
Es fácil de integrar a la segunda ecuación, dando
$$g(x, y) = \frac{H(y)}{{\bf b}^2(x, y)}$$ for any nonzero function $H$, which reduces the problem to substituting and solving the first P.D.E. I do not see at a glance whether this system always has a solution (or whether the corresponding solution for general $$ n). Tal vez alguien puede ver esto?
