¿Puede la parte real de una función entera estar limitada por un polinomio?

Question

Deje que $f: \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ser una función completa de tal manera que $Re(f) \le |p(z)|$ para algún polinomio, ¿podemos derivar que $f(z)$ es un polinomio.

Si $p(z)$ es constante, entonces esto puede demostrarse considerando $e^f$ . Si en cambio consideramos $|u(z)| \le |p(z)|$ entonces también se puede mostrar. Pero si no establecemos el límite inferior, entonces no puedo averiguar cómo generalizar la prueba.

Answer 1

La condición es equivalente a $ \operatorname {Re} f \le K|z|^m$ para algunos $m$ y $K$ .
Bajo esta condición podemos concluir que $f(z)$ es un polinomio de orden inferior o igual a $m$ .

Deje que $f(z)=u+iv= \sum_ {k=0}^ \infty a_kz^k$ y $A(r)= \max _{|z|=r} u(z)$ .
Es bien sabido que para $k \ge 1$ $$ a_kr^k= \frac {1}{ \pi } \int_0 ^{2 \pi } u(re^{i \theta })e^{-ik \theta }d \theta . $$ Esto lleva $$ |a_k|r^k+2u(0) \le \frac {1}{ \pi } \int_0 ^{2 \pi } \left (|u(re^{i \theta })|+u(re^{i \theta }) \right )d \theta \tag {1} $$ desde $u(0)= \frac {1}{2 \pi } \int_0 ^{2 \pi } u(re^{i \theta })d \theta .$

Si $A(r) \le 0$ Entonces $|u|+u=0$ y tenemos $|a_k|r^k+2u(0) \le 0$ de $(1)$ . Si $A(r)>0$ entonces tenemos $$ |a_k|r^k+2u(0) \le 4A(r),$$ desde $|u|+u \le 2A(r)$ . En ambos casos tenemos $|a_k|r^k \le \max\ {4A(r),\, 0\}-2u(0).$

Ahora supongamos que $ \operatorname {Re} f \le K|z|^m$ . Entonces tenemos $$ |a_n| \le 4Kr^{m-n}- \frac {2u(0)}{r^n} \to 0 \quad (r \to \infty ) $$ para $n>m$ .