Dilaton en el Campo de Fondo

Question

¿Cómo se puede demostrar que la acción de dilaton en la Cadena de Fondo de los Campos debe ser de la forma: $S_\Phi = \frac1{4\pi} \int d^2 \sigma \sqrt{h} R(h) \Phi(X)$?

Gracias.

Answer 1

Parece ser que hay una confusión básica en la otra respuesta, y tal vez en la creencia de que el OP, que impide que la gente de ver la respuesta correcta, que es simple. La principal cosa a notar es que el $h,R$ en la fórmula no son el espacio-tiempo de la métrica y la curvatura: es el mundo de la hoja de métrica y la curvatura!

El dilaton se normalizan de modo que $\exp(\Phi)$ es proporcional a la (cerrado) cadena constante de acoplamiento $g_s$. Sabemos que los diagramas deben escala con una potencia de $g_s$ que dependen de la topología de la superficie de Riemann (es Euclidiana de la firma, no Minkowskian uno, Prahar), es decir, como $g_s^{2h}$ donde $h$ es el número de manos o con $g_s^{-\chi}$. Que se traduce a $\exp(-\Phi \chi)$ fijo dilaton (registro de la cadena de acoplamiento).

La distancia Euclídea de acción de arriba es simplemente la manera de escribir la característica de Euler, $$\chi = \frac{1}{4\pi}\int d^2 z\,\sqrt{h} R$$ multiplicado por $\Phi$ porque queremos que $-\Phi\chi$ a ser el exponente de la Euclideanized ruta integral, de $\exp(-S)$, dándonos $S=\Phi\chi$. Tenga en cuenta que $R=2/a^2$ para una esfera de radio $a$ y queremos $\chi=2$ cuando la curvatura es integrado a través de su $4\pi a^2$ de la superficie, por lo tanto el $1/4\pi$ factor en la fórmula anterior.

Su fórmula anterior difiere de la mía, simplemente permitiendo $\Phi$ a depender de $X^\mu$.

La explicación anterior fue una explicación utilizando algunos hechos conocidos acerca de "lo que el espacio-tiempo de la física se espera obtener", especialmente cuando se trata del acoplamiento de la dependencia del individuo de las superficies de Riemann (fibrosa diagramas de Feynman).

Si quería una derivación a partir de los primeros principios, tendría que empezar con el más general del mundo, de la hoja de la teoría conforme de campos. La integral de $R\sqrt{h}$ es proporcional a la característica de Euler, que es de conformación, porque es aún topológico. La adición de $X^\mu(z,\bar z)$dependiente de los coeficientes de todos los términos es la forma estándar para la construcción de una acción más general (no constante, posiblemente curva, el fondo para la métrica, dilaton, y en otros ámbitos). El conformality requisito (incluyendo el quantum loop correcciones) nos dice que el fondo – que se expresa en estos coeficientes, se ha de obedecer el espacio-tiempo de las ecuaciones de movimiento. Esto es cierto para la dilaton perfil de $\Phi(X)$, demasiado.

Etiquetar correctamente los coeficientes de los términos en el mundo en general de la hoja de la teoría conforme de campos de acción, es necesario comparar el espacio-tiempo de las predicciones de la acción con las expectativas, ya que esto es acerca de la interpretación o de la terminología. Así que usted vuelva a ejecutar el comienzo de esta respuesta y darse cuenta de que el coeficiente de la $\chi$-como la integral anterior es lo que llamamos el espacio-tiempo dilaton porque para un (casi) el valor de la constante de la dilaton, nos da el derecho de acoplamiento constante dependencia de la que esperamos de la dilaton. Usted puede elegir su psicológicos punto de partida diferente.

La verdad fibrosa enfoque simplemente te llevan a escribir la más general CFT con el más general de los coeficientes que hacen de la teoría de conformación, y predecir la física fuera de ella. La física que va a ser equivalente a una cierta dinámica en el espacio-tiempo y de esta dinámica en el espacio-tiempo se – al menos en distancias largas – parecen venir de una teoría de campo. Así que usted puede identificar los parámetros de tal manera que este mapa va a trabajar. Sin embargo, en principio, se puede parametrizar el CFTs en cualquier manera que usted desea y describir el espacio-tiempo de la física en términos de estos parámetros. En este enfoque, usted verá que los CFTs puede tener el término anterior, con una función general $\Phi(X)$ que tiene que obedecer a una de Klein-Gordon-(con un potencial) de la ecuación, el espacio-tiempo de campo ecuación para la dilaton campo, para el 1 de bucle correcciones para el mundo la escala de la hoja invariancia a cancelar y todo lo demás en el espacio-tiempo dependerá de $\Phi(X)$ como si fuera el fondo de configuración para un dilaton campo, también.

Answer 2

La forma de hacerlo, es tomar $h_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + g_{\mu\nu}$ donde $g$ es pequeña. Estamos a continuación, el tratamiento de la gravedad como una perturbación más de Minkowski. La acción es entonces toma la forma del vértice del operador correspondiente a la Dilaton $\Phi(X)$. Se puede convencer a sí mismo que esto implica que $S_\Phi$ debe ser de la forma anterior? (Sugerencia: Un cálculo similar se realiza para $G_{\mu\nu}$ $B_{\mu\nu}$ en Polchinski en algún lugar y Tong notas).