¿Por qué definimos las normas de ciertos espacios vectoriales de la forma en que lo hacemos?

Question

¿Cuál es la intuición para definir $\|x\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n}\{|x_i|\}$ en el espacio de los ordenados $n$ -¿tuplas de números complejos?

Lo pregunto porque me han pedido que encuentre una norma sobre el espacio de complejos $m \times n$ que es el análogo de $\|\cdot \|_{\infty}$ . He buscado y la Wikipedia menciona que $$\|A\|\ _{\infty} = \max_{1 \le i \le m} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|.$$

¿Puede alguien explicar cómo/por qué esta es la analogía adecuada y también responder a la primera pregunta que hice?

Answer 1

En realidad su pregunta es la combinación de dos preguntas.

Sobre su primera pregunta: Seguramente conoces la norma euclidiana, $$\left\|v\right\|_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^n \left|v_k\right|^2} = \left(\sum_{k=1}^n \left|v_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}$$ derivado del producto escalar euclidiano. Nótese que aquí he utilizado barras de valor absoluto, que son superfluas en los espacios vectoriales reales, pero en los espacios vectoriales complejos son necesarias.

Ahora ves que aparece un número, $2$ , aquí en varios lugares. Así que una pregunta muy natural es: ¿Y si reemplazo ese $2$ ¿constantemente con otro número? Bueno, resulta que para cualquier número $\alpha\ge 1$ de nuevo se obtiene una norma, $$\left\|v\right\|_\alpha = \left(\sum_{k=1}^n\left|v_k\right|^\alpha\right)^{\frac{1}{\alpha}}$$ Además, resulta que la norma de la "frontera inferior" $\left\|\cdot\right\|_1$ es una especie de norma máxima: Para cualquier norma con $\left\|e_k\right\| = 1$ para todos los vectores base estándar $e_k$ tenemos $\left\|v\right\| \le \left\|v\right\|_1$ para cualquier $v\in\mathbb R^n$ . Equivalentemente, la bola unitaria del vector $1$ es el casco convexo del conjunto $\{\pm e_k:k=1\ldots n\}$ . En tres dimensiones es el octaedro cuyas esquinas están dadas exactamente por esos vectores.

La siguiente pregunta natural es entonces, si existe también una norma que sea mínima en el mismo sentido que $\left\|\cdot\right\|_1$ es máxima. El lugar obvio para mirar es el "otro extremo" del vector $\alpha$ normas, es decir, $\alpha\to\infty$ . Y efectivamente, el límite existe y es $$\left\|v\right\|_\infty := \lim_{\alpha\to\infty} \left\|v\right\|_\alpha = \max\{v_k: K = 1,\ldots,n\}$$

La bola unitaria correspondiente es el casco convexo del conjunto $\{\pm e_1\pm e_2\pm\dots\pm e_n\}$ . Geométricamente es fácil ver que añadir cualquier punto fuera de ese conjunto haría que uno de los vectores unitarios dejara de estar en la frontera del casco convexo. En tres dimensiones, se trata del cubo de lado 2 centrado en el origen, con los vectores unitarios en el centro de cada cara.

Ahora sobre su pregunta acerca de la norma de la matriz.

Esto no es el análogo a la norma vectorial. Más bien es la norma del operador inducido por mi el $\infty$ norma. Es decir, es la norma definida por $$\left\|A\right\|_\infty = \sup\left\{\frac{\left\|Av\right\|_\infty}{\left\|v\right\|_\infty}:v\in\mathbb R^n\setminus\{0\}\right\}$$

Answer 2

Pensemos en las normas en el avión. La norma euclidiana ordinaria es $(x^2 + y^2)^{1/2}$ . El círculo unitario para esa norma es el círculo unitario ordinario. Hay otras normas útiles. Una de ellas es $|x| + |y|$ . Su "círculo unitario" es el cuadrado con vértices $(\pm 1, 0)$ y $(0, \pm 1)$ . Estas normas forman parte de una familia de normas definidas por $\|(x,y)\|_p = (|x|^p + |y|^p)^{1/p}$ . Si usted mira $p$ se acerca al infinito el círculo unitario se acercará al cuadrado con vértices $(\pm 1, \pm 1)$ . Ese es el círculo de la unidad para el $\|\ \|_\infty$ norma.

Para ver las imágenes, consulte la página de la wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Superellipse

Answer 3

Aunque no es realmente el espíritu con el que preguntas, hay algunos sentidos en los que estas normas son las "únicas" posibilidades. No son literalmente las únicas posibilidades y, como señaló Studzinski en un comentario ahora borrado, todas las normas en un espacio de dimensión finita son topológicamente equivalentes, por lo que no hay ninguna razón topológica para preferirlas a cualquier norma aleatoria que se pueda imaginar; pero se pueden imponer condiciones adicionales que las distingan en el espacio de las normas; véase, por ejemplo, http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=231183 .

Como Ethan Bolker ( https://math.stackexchange.com/a/1251246/87579 ) y Steven Taschuk ( https://math.stackexchange.com/a/1251242/87579 ), estas normas también tienen la propiedad de que sus "bolas" unitarias son visualmente atractivas, lo cual es algo subjetivo, así que digamos que tienen una colección de simetrías razonablemente agradable. Centrarse en las simetrías explica por qué tendemos a preferir el $\ell^2$ norma: porque tiene la más ¡simetrías! Ver http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1272946 .

Otro artículo sobre el enfoque teórico de la simetría de las normas, que comparte autor con el que se acaba de enlazar, es http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1763059 .

Answer 4

En $\mathbb R^n$ la norma $\|\cdot\|_\infty$ es aquella cuya bola unitaria es la $n$ -cubo de dimensiones $[-1,1]^n$ . Así, $\|x\|_\infty$ es cuánto tienes que escalar ese cubo para que $x$ estará en su superficie.

Para $\mathbb C^n$ La definición es formalmente la misma, aunque no nos guste llamar a la bola unitaria "cubo".

Para $m\times n$ matrices, habría dicho que la analogía más sencilla sería considerar las matrices como vectores en $\mathbb C^{mn}$ . Lo que has encontrado en Wikipedia no es eso, sino lo que Wikipedia llama la norma inducida, que surge de pensar en la $m\times n$ matriz como un operador lineal de un espacio normado a otro y cuantificar el tamaño de las imágenes. Este operador norma para una matriz $A$ es cuánto hay que escalar la bola unitaria del espacio objetivo para que sólo contenga la imagen bajo $A$ de la bola unitaria del espacio del dominio.