La suma de los primeros n números naturales, cada uno multiplicado por un irracional constante y con pisos de

Question

¿Cómo sería un ataque de una suma, como este:

$$\lfloor 1 \cdot \sqrt{2} \rfloor + \lfloor 2 \cdot \sqrt{2} \rfloor + \lfloor 3 \cdot \sqrt{2} \rfloor + ... + \lfloor n \cdot \sqrt{2} \rfloor$$

o simplemente:

$$\sum_{i=1}^n\lfloor i \sqrt{2} \rfloor$$

Answer 1

SUGERENCIA:

Ya que la suma de $1+2+3+4 \cdots$ o $\sum_{n=0}^\infty n$ diverge según la Wikipedia, por la convergencia de la prueba de esta suma es mayor que la suma de todos los números naturales, por lo que también diverge.

Por lo tanto, la serie no se aproximan a un límite general, por lo que la suma tiene que ser expresado en términos de $i$ solamente.