Imagen de un polinomio entero

Question

¿Cómo describo todos los enteros que se pueden escribir de la forma $$(x+y)^2+5x+3y$$ para algunos enteros $x$ y $y$ ?

Answer 1

1. Puedes obtener todos los enteros pares tomando $y=-x$ y eligiendo $x$ adecuadamente.

2. No puedes obtener ningún entero impar, porque
   a. $x,y$ ambos pares: la expresión es par
   b. $x$ incluso, $y$ impar: impar+par+impar = par
   c. $x,y$ impar: par+impar+impar=par

Answer 2

Otro enfoque es reescribirlo como $$(x+y)(x+y+3) + 2x.$$

Esto nos muestra inmediatamente por qué todo número par es posible, por ejemplo, el conjunto Vadim $x+y = 0$ aunque también podríamos tener $x+y+3 = 0$ .

Esto también nos muestra inmediatamente por qué todo número impar es imposible, ya que ambos sumandos son pares.