Tratando de calcular el % de límite integral $\lim_{n\rightarrow\infty} \int_{-\sqrt n}^{\sqrt n}\left (1 - \frac{x^2}{2n}\right)^ndx$

Question

Cómo calcular la siguiente integral:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\sqrt{n}}^{\sqrt{n}}{\left(1-\frac{x^2}{2n}\right)^n}dx$ $ Demostrar que esta integral existe y calcular su valor.

Yo sólo no Cómo iniciarlo. En análisis real, pero no veo a relación alguna con el analsis real.

Answer 1

Las integrales pueden escribirse $\int_{-\infty}^\infty f_n(x)\, dx$, donde $f_n(x) = 1_{[-\sqrt{n},\sqrt{n}]}(x)\cdot(1 - \frac{x^2}{2n})^n$. Ahora desde $1 - \frac{x^2}{2n} \le e^{-x^2/2n}$, $|f_n(x)| \le e^{-x^2/2}$. Además, $\lim_{n\to \infty} f_n(x) = e^{-x^2/2}$ y $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\, dx$ son finito. Por el teorema de convergencia dominada, su límite es $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\, dx = \sqrt{2\pi}$.