¿Cómo debemos definir los $f(\frac{d}{ds})$ al $f$ no es un polinomio? Probablemente la forma estándar de hacerlo es con la transformada de Laplace.
Vamos a usar esta notación para el (bilateral) la transformada de Laplace: Si $f(t)$ es un (buen) función, su transformada de Laplace es una función de $F(s)$ definido por
$$
F(s) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-t}\;dt
$$
Escribir $F(s) = \mathscr{L}\{f(t)\}$ para la transformada de Laplace; y $f(t) = \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}$ para la transformada inversa de Laplace. Voy a intentar utilizar variables $s$ $t$ constantemente de esta manera.
Si $\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s)$, a continuación, calcular $\mathscr{L}\{-tf(t)\} = F'(s)$. Por inducción, $\mathscr{L}\{(-t)^kf(t\}) = F^{(k)}(s)$ natural de número de $k$. Por linealidad, $\mathscr{L}\{\phi(-t)f(t)\} = \phi(\frac{d}{ds})F(s)$ para cualquier polinomio $\phi$.
Definir $\phi(\frac{d}{ds})$ para los polinomios $\phi$ usando la misma fórmula. Así
$$
\phi\left(\frac{d}{ds}\right)F(s) = \mathscr{L}\big\{\phi(-t)f(t)\big\}
=\mathscr{L}\left\{\phi(-t)\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}\right\}
\etiqueta{*}$$
Por supuesto, se necesitan condiciones para que todos estos existen. Al $f$ es acotado, medibles, con soporte compacto, no hay ningún problema en absoluto.
Ahora a esta pregunta. Fix $a < b$ números reales. Deje $\phi$ ser la función a integrar de$a$$b$. Definir la función $h(t)$ por
$$
h(t) = \begin{cases}0\quad\text{if } t<-b
\\1\quad\text{if } -b \le t \le -a
\\0\quad\text{if } -a < t\end{casos} .
$$
Este es acotado, medibles, con soporte compacto.
Calcular
$$
\mathscr{L}\{h(t)\} = \frac{e^{sb}-e^{sa}}{s} .
$$
Por lo tanto, con la definición de $(*)$ hemos
$$
\phi\left(\frac{d}{ds}\right) \frac{e^{sb}-e^{sa}}{s}=
\mathscr{L}\{\phi(-t)h(t)\} =
\int_{-\infty}^\infty \phi(-t)h(t)e^{-st}\;dt
\\
=\int_{-b}^{-a}\phi(-t)e^{-st}\,dt = \int_a^b \phi(x) e^{sx}\;dx .
$$
(Hemos cambiado variables $t=-x$.)
Y así
$$
\lim_{s \to 0}\phi\left(\frac{d}{ds}\right) \frac{e^{sb}-e^{sa}}{s}=
\int_a^b\phi(x)\;dx .
$$
