¿Cómo es que $(12\dots n)$ y $(a\, b)$ generar $S_n$ ?

Question

Sé que $S_n$ se genera por una serie de cosas, como todas las transposiciones, todas las transposiciones de la forma $(1\,a)$ las transposiciones $(1\,2),(2\,3),\dots,(n-1\, n)$ y sólo los dos elementos $(123\dots n),(1\,2)$ .

Supongamos que $n$ es primordial. Si sólo tiene $(123\dots n)$ y alguna transposición arbitraria $(a\, b)$ ¿Cómo genera esto también $S_n$ ?

¿Puedes llegar de alguna manera a $(1\,2)$ o reducirlo a algún otro caso anterior?

Answer 1

Si $n$ es compuesto (como en la versión inicial de la pregunta): no necesariamente. Por ejemplo, $(1234)$ y $(24)$ no puede generar $S_4$ porque ambos conservan la propiedad de que los elementos Impares están junto a los pares y viceversa.

Por otro lado, si $n$ es primo, entonces siempre funciona. Si $x$ es una arbitraria $p$ -ciclo y $(ab)$ una transposición arbitraria, entonces dejemos que $k$ sea la distancia entre $a$ y $b$ en $x$ . Ahora $x^k$ o bien toma $a$ a $b$ o $b$ a $a$ (dependiendo de la forma en que contemos), y $x^k$ debe seguir siendo un $p$ -ciclo (no puede ser la identidad a menos que $a=b$ y su orden tiene que dividir el orden de $x$ ). Así que un simple reetiquetado de las posiciones nos devuelve al caso $(123\cdots p), (12)$ .

Answer 2

Intenta demostrar que $(123\dots n)$ y $(ab)$ generar $S_n$ si y sólo si $\text{gcd}(|a-b|,n)=1$ .

En particular, para $n$ primo, esto demuestra que toda transposición $(ab)$ y el ciclo $(12\dots n)$ generar $S_n$ .

Answer 3

Otra forma ligeramente diferente de verlo para $n = p$ una prima, si lo prefiere:

Dejemos que $\sigma = (12 \ldots p)$ . Entonces $\sigma (ab) \sigma^{-1} = (\sigma(a) \sigma(b)) = (a+1 \ \ b+1)$ . Continuando, generamos todas las transposiciones de la forma $(a+k\ \ b+k$ ) (trabajando con el módulo $p$ ). Sea $t = b - a$ y vemos que tenemos todas las transposiciones de la forma $(a \ \ a+t)$ . Dado cualquier $c,d \in \{0 , \ldots , p-1 \}$ Hay un $s$ tal que $c + st = d \ (\mathrm{mod} \ p)$ (concretamente $s = t^{-1}(c-d)$ que siempre existe como $\mathbb Z / p \mathbb Z$ es un campo; esto no funcionaría si $n$ no era primordial). Así que hemos generado todas las transposiciones, y así todo el grupo.