¿Se pueden separar triángulos separados por una de las líneas que definen?

Question

Supongamos que tenemos dos disjuntos triángulos en el plano, entonces existe una línea que separa los dos triángulos. Es posible elegir una línea que pasa por el borde de uno de los triángulos.

¿Si esto es cierto podemos nosotros generalizarlo que otras formas poligonales convexas? ¿Incluso más general, dadas dos formas acotados disjuntos en $\mathbb{R}^d$ definidas como la intersección de hyperplanes (por lo tanto convexa), pueden separar por uno de su hiperplano definitorio?

Answer 1

Sí, esto es cierto acerca de dos triángulos $T_1,T_2$: siempre existe una separación de la línea que contiene a un lado de la $T_1$. Sospecho que hay una generalización a dimensiones superiores como pedir, pero una vez que vea el triángulo de la prueba de que usted probablemente puede generalizar a ti mismo.

Para empezar, la primera prueba la conclusión deseada se mantiene, o existe una separación de la línea de $L$ que pasa a través de un vértice $v_1 \in T_1$ y un vértice $v_2 \in T_2$ (en el segundo caso será analizado más adelante). Esto se puede hacer a partir de cualquiera de separación de la línea, y se mueve paralelamente a sí misma hacia la $T_1$ hasta tocar primero un punto de $T_1$, por lo que toca algunos vértice $v_1$$T_1$. Si la línea que ahora contiene uno de los lados del incidente a$v_1$, entonces usted está hecho; de modo que podemos suponer que toca a $T_1$$v_1$. Ahora girar alrededor de la línea de $v_1$; hay dos posibles direcciones de rotación y el ángulo de rotación en cualquier dirección es limitado de modo que $T_1$ se queda en un lado de la línea y $T_2$ se queda en el otro lado. En la dirección de la rotación, llega un momento donde uno de los dos eventos que sucede: la línea contiene un segundo vértice de $T_1$, por lo que contiene un lado de la $T_1$ y ya está; o la línea de toques de primera $T_2$, y se debe tocar $T_2$ a un vértice $v_2$.

Supongamos ahora que una separación de la línea de toques $T_1$ a un vértice $v_1$ $T_2$ a un vértice $v_2$. Considere el segmento de $[v_1,v_2]$. De los dos vértices de $T_1$, escoger el $w_1$ de manera tal que el ángulo de $\angle w_1 v_1 v_2$ es el más pequeño. De los dos vértices de $T_2$, escoger el $w_2$ de manera tal que el ángulo de $\angle w_2 v_2 v_1$ es el más pequeño. De los dos ángulos $\angle w_1 v_1 v_2$$\angle w_2 v_2 v_1$, uno de ellos es menor que o igual a la otra; por el intercambio de los índices de $1,2$ si es necesario, podemos suponer que la $\angle w_1 v_1 v_2 \le \angle w_2 v_2 v_1$. La línea a través de $w_1 v_1$ separa $T_1,T_2$.