¿Por qué $\mathbf{Var}(X) = \mathbf{Var}(-X)$ para la variable aleatoria $X$ ?

Question

Pregunta del paquete de estudio del GRE de Matemáticas de la UCLA, conjunto de problemas 2, número 4: http://www.math.ucla.edu/~cmarshak/GREProb.pdf

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre cierta?

\begin{align} ...\\ (II) \ \mathbf{Var}(X) = \mathbf{Var}(-X)\\ ...\\ ...\\ \end{align} La respuesta dice que (II) es verdadera. ¿Por qué?

Answer 1

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria y $\alpha \in \mathbb R$ . Tenemos \begin{align*} {\rm Var}(\alpha X) &= \def\E{\mathbb E}\E[(\alpha X)^2] - \E[\alpha X]^2\\ &= \E[\alpha^2 X^2] - \bigl(\alpha \E[X]\bigr)^2\\ &= \alpha^2 \bigl(\E[X^2] - \E[X]^2\bigr)\\ &= \alpha^2 {\rm Var}(X) \end{align*} En su caso $\alpha = -1$ y $$ {\rm Var}(-X) = (-1)^2 {\rm Var}(X) = {\rm Var}(X). $$

Answer 2

Por definición $$ Var(X):=E(X-EX)^{2} $$

Dejemos que $Z=-X$ entonces por linealidad de la expectativa $$ Var(Z)=E(Z-EZ)^{2}=E(-X-(-EX))^{2}=E(-X+EX)^{2}=E(EX-X)^{2}=E(X-EX)^{2}=Var(X) $$

Nótese que he utilizado esa igualdad $(EX-X)^{2}=(X-EX)^{2}$ .

Esto también puede verse de manera similar a partir de la identidad $$ Var(X)=EX^{2}-(EX)^{2} $$

Desde $X^{2}=(-X)^{2}$ y $(EX)^{2}=(E(-X))^{2}=(-EX)^{2}$

Answer 3

Otra forma de realizarlo es $$ \begin{align} 0&=\mathrm{Var}(0)=\mathrm{Var}(X+(-X))=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(-X)-2\mathrm{Cov}(X,X)\\ &=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(-X)-2\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(-X)-\mathrm{Var}(X). \end{align} $$