Comprender a fondo los conceptos y fórmulas del álgebra lineal

Question

En el álgebra lineal (soy el principiante hasta ahora), siento que los conceptos e ideas se basan en otro, como capa por capa y hay muchas relaciones entre las propiedades.

Por ejemplo, la multiplicación de matrices, AB es esencialmente la composición de la transformación lineal $A(Bx)=(AB)x$ para definir manualmente AB) , y la Transformación Lineal es también de Ecuación Matricial( $Ax=b, T(x)=b=Ax$ )y la ecuación matricial es también de la ecuación vectorial( $x_1a_1+...+x_na_n=b$ equivalente a $Ax=b$ )y, por último, la ecuación vectorial es el sistema básico de ecuaciones lineales.

así que la Ecuación Vectorial podría entenderse intuitivamente como Sistema LinealLa Ecuación Matricial es sólo otra formación La Transformación Lineal está bien tambiénpero cuando se trata de Álgebra Matricial como la Matriz Inversa y sus propiedades, parece muy difícil para que se entienda intuitivamente a través del sistema básico de ecuaciones lineales. Sólo estará bien cuando admita la definición manual la multiplicación matricial a partir de la composición de la transformación lineal. Porque a medida que el proceso avanza, es cada vez más como todo se construye capa por capa, y cada vez más complicado ya que es muy difícil tratar de entenderlo desde el mismo capa básica (por ejemplo, un sistema lineal) intuitivamente .

No estoy seguro de que sea la situación normal, porque también hay propiedades cruzadas entre muchas "capas". Por lo tanto, toda la 'estructura de conocimiento' no está muy clara en mi cerebro.

Y, cuando pienso en la Fórmula Cuadrática básica en álgebra elemental, su significado es simplemente resolver la ecuación cuadrática con una variable, y luego se demuestra a partir de completar el cuadrado de $ax^2+bx+c=0$ para encontrar la formación general de $x$ . Pero sigue siendo imposible "entender a fondo" de la ecuación original como la relación entre cada variable y coeficiente. Así que cuando necesito usarlo, sólo me remito al libro o lo pruebo yo mismo (asumo si lo olvido)

Entonces, ¿será lo mismo que aprender el Álgebra Lineal, como el determinante de la matriz, $\det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det A_{1j}$ . ¿Está bien que lo que necesito hacer es sólo saber dos cosas,

1. Lo que realmente es.
2. Cómo probarlo.

(Cuando lo uso, sólo me remito al libro o lo pruebo, sin embargo, probar el determinante lleva un poco de tiempo). Porque esta fórmula ( $\det A$ ) ya está imposible de entender a fondo desde la "capa" más básica como un sistema de ecuaciones lineales o incluso una ecuación vectorial. Sólo sé, En primer lugar su significado es determinar si una matriz es invertible (porque una matriz invertible debe tener $n\times n$ tamaño y tiene posición de pivote en cada fila y sin ceros en las entradas diagonales), En segundo lugar se demuestra desde $n\times n$ fila de la matriz reducida a la forma escalonada, entonces la esquina inferior derecha debe ser distinta de cero, la fórmula anterior es sólo la formación breve del elemento en la esquina inferior derecha.

Sé estas dos cosas, ¿Puedo decir que ya lo entiendo? Porque aunque sé que 1. qué es realmente y 2. cómo demostrarlo pero todavía no soy capaz de recordarlo cuando lo uso.

Answer 1

Creo que estás en el buen camino cuando dices que quieres conseguir una mejor comprensión intuitiva de lo que está pasando.

Empecemos con una interpretación geométrica del determinante de una matriz: Dada una $n$ -por- $n$ matriz cuadrada $A$ formado por vectores columna $v_1,v_2,\dots,v_n$ El volumen del paralelótopo abarcaba el $n$ vectores es el valor absoluto del determinante, $|\det(A)|$ .

Ahora piensa en la matriz $A$ como un mapa lineal del $n$ -espacio vectorial real dimensional $\mathbb R^n$ a $\mathbb R^n$ dado por $v \mapsto Av$ para $v \in \mathbb R^n$ . Consideremos el cubo unitario $[0,1]^n=[0,1]\times\dots\times[0,1]$ en $\mathbb R^n$ . La imagen del cubo unitario bajo ese mapa lineal $v \mapsto Av$ será simplemente el paralelótopo abarcado por el $v_1,v_2,\dots,v_n$ que eran los vectores columna de $A$ . Tenga en cuenta que si $\det(A)=0$ entonces el volumen será cero.

Esto nos puede decir algo intuitivo sobre la invertibilidad del mapa lineal dado por $A$ . Piensa en cuál es la imagen de todo el espacio $\mathbb R^n$ está bajo el mapa dado por $A$ (lo que también se llama el "rango" del mapa). Será todo el $\mathbb R^n$ o algún subespacio propio de $\mathbb R^n$ . Obsérvese que el mapa dado por $A$ es invertible si y sólo si el rango del mapa es todo $\mathbb R^n$ . De hecho, si el rango fuera no todo $\mathbb R^n$ entonces el mapa se ha "aplastado" $\mathbb R^n$ en algún subespacio de menor dimensión, por lo que tendrás un mapa de muchos a 1 en lugar de 1-1, por lo que no será invertible.

¿Qué tiene que ver esto con el determinante? Si $\det(A)=0$ entonces el volumen de la imagen del cubo unitario es cero, por lo que el cubo unitario debe haber sido "aplastado" por el mapa en un subespacio de menor dimensión. Se puede extrapolar este razonamiento para ver que si $\det(A)=0$ entonces la imagen de todo el espacio $\mathbb R^n$ también será "aplastado" en un subespacio propio, por lo que el mapa no será invertible. Por el contrario, si $\det(A)\neq0$ entonces el volumen de la imagen del cubo unitario es mayor que cero, y un poco de pensamiento podría convencerte de que entonces la imagen de todo el espacio $\mathbb R^n$ en ser todo de $\mathbb R^n$ , por lo que ese mapa será invertible.

Así, para resumir nuestro argumento intuitivo:

matriz $A$ es invertible $\Leftrightarrow$ mapa sobre dado $\mathbb R^n$ por $A$ es invertible $\Leftrightarrow$ imagen del mapa es todo $\mathbb R^n$ $\Leftrightarrow$ el volumen de la imagen del cubo unitario es $>0$ $\Leftrightarrow$ $\det(A) \neq 0$ .

El siguiente paso para entender el determinante es pensar en qué debería significar "volumen con signo", qué tipo de propiedades debería tener, y luego trabajar hacia atrás a partir de esas propiedades para obtener las fórmulas habituales para el determinante. En el capítulo 5 de Peter Lax's Álgebra lineal y sus aplicaciones .

Answer 2

À la Sheldon Axler, los determinantes son una forma horrible de enseñar álgebra lineal. Yo también estoy de acuerdo con él, pero a veces los determinantes son convenientes. La manera de aprender álgebra lineal y matrices (al menos para mí) es imaginar que una matriz es una especie de mapa lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita (si no sabes lo que es un espacio vectorial, o la dimensión de un espacio vectorial, puedes mirar en la wikipedia).

Lo que hay que saber es esto: Que una matriz sea cuadrada es una condición necesaria pero no suficiente para que una matriz sea invertible. ¿Por qué? Bueno, en primer lugar debo decir que las dimensiones de una matriz determinan las dimensiones de los espacios vectoriales en cuestión. Por ejemplo, si $T : V \rightarrow W$ , donde $V$ y $W$ son de dimensión finita $n$ y $m$ respectivamente, entonces su matriz será de tamaño $m \times n$ (Piensa en ello en términos de cómo multiplicar matrices con vectores columna).

Demuestra lo siguiente: Todo mapa lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita puede representarse mediante una matriz .

Ahora tal vez en tu clase hayan hecho la reducción de filas, reduciendo una matriz a la forma de fila-reducida-echelón. Entonces tal vez te hayan hablado de la fórmula:

Número de columnas de una matriz = número de columnas pivote + número de columnas con variables libres.

Esto se puede replantear de la siguiente manera: Si $T$ es un mapa lineal desde $V \rightarrow W$ , entonces dim $V = $ dim null $T$ + dim im $T$ .

Sólo con esta fórmula, demuestre que si las dimensiones de los dos espacios $V$ y $W$ en cuestión no son iguales, el mapa no es inyectivo o no es suryectivo. Si no sabes lo que significan, puedes consultar el enlace de la wikipedia aquí. Por ejemplo, se atenúa $V > $ dim $W$ Entonces, por la fórmula que he indicado anteriormente,

$\begin{eqnarray*} \text{dim null} T &=& \text{dim} V - \text{dim im} T \\ &>& \text{dim} W - \text{dim im} T \\ &\geq& 0. \quad \quad (\text{Why?}) \end{eqnarray*}$

Así que no sólo existe la solución trivial de la ecuación $Ax = 0$ donde es la matriz representada por el mapa lineal $T$ lo que equivale a decir que el mapa no es inyectivo. Se puede demostrar un resultado similar para el caso en que dim $W > $ dim $V$ . Esto se relaciona con lo que dije sobre el hecho de que una matriz sea cuadrada es una condición necesaria pero no suficiente para que sea invertible.

Por lo tanto, demuestre que una matriz es invertible si es subjetiva e inyectiva. De hecho, demostrar que las siguientes 3 afirmaciones son equivalentes sería de gran ayuda para su comprensión: Sea $V$ y $W$ sean espacios vectoriales de dimensión finita.

$\textbf{1.}$ Existe un mapa lineal invertible desde $V$ a $W$ Llama a esto $T$ .

$\textbf{2.}$ La dimensión de $V$ es igual a la dimensión de $W$ .

$\textbf{3.}$ El mapa $T$ es sobreyectiva e inyectiva.

Así que realmente, todas las propiedades de si un sistema lineal tiene una solución única o no se reduce a comprobar las dimensiones del espacio nulo, la imagen, etc.

Para que te hagas una idea de cómo ver las conexiones:

Consideremos el sistema lineal $Ax = 0$ . Esto equivale a encontrar el espacio nulo del mapa lineal representado por la matriz $A$ lo que equivale a preguntar si las columnas de $A$ son linealmente independientes (¿Qué significa multiplicar una matriz por un vector?)

Al menos en tres dimensiones, que tres vectores sean linealmente independientes es lo mismo que decir que el paralelepípedo formado por los tres vectores no está aplastado, que es lo mismo que decir que el determinante de $A$ es distinto de cero.

Después de un tiempo, se verán algunas conexiones y los ojos se iluminarán.

Espero que haya servido de algo.

$\textbf{Edit:}$ . Para responder a tu pregunta de por qué el elemento más a la derecha de la última fila de una matriz en forma escalonada reducida debe ser distinto de cero para tener al menos una solución, piensa en ello en términos de dimensiones.