La lectura de este documento que es en sí mismo una exposición de Parikh y Wilczek del papel, llego a un punto donde no puedo ser capaz de seguir el cálculo. Ahora bien, esto es sin duda debido a mis habilidades de cálculo han sido afectados por décadas de la atrofia, así que me pregunto si alguien le puede ayudar. El papel calcula el túnel coeficiente de transmisión para una partícula (parte de una partícula/antipartícula par) creado dentro del horizonte. La WKB coeficiente de transmisión está dada por $$T = exp({-\frac{2}{\hbar} Im(S)})$$ where "Im" is the imaginary part, and the action, $S$, is evaluated over the classically forbidden region. Using Painleve-Gullstrand coordinates for the black hole, the paper derives, fairly straightforwardly, $$Im(S) = Im \int_{2M}^{2(M-\omega)}{dr \int_{0}^{\omega}d\omega' {\frac{1}{1-\sqrt{\frac{2(M-\omega')}{r}}}}}$$ (eq 41). $\omega$ es la energía llevada a cabo por el túnel de la partícula. Ahora el siguiente paso es donde me quedo atascado. La siguiente ecuación (42) sugiere que la r de integración se ha realizado para obtener a partir de (41)->(42). Esto es lo que sucede cuando trato de hacerlo:
Es de suponer que el contorno de la integral que se hace referencia es en el complexified r variable. La forma en que el aparece una "r" no es muy agradable, así que hacer una sustitución de $z=r^{\frac{1}{2}}$, dando $$Im \int_{2M}^{2(M-\omega)}dz{\frac{2z^2}{z-\sqrt{2(M-\omega')}}}$$. The talk of deforming the contour "in the E plane" suggests we make the energy slightly imaginary - add $i\delta$ to $\omega$ where $\delta$ is small. The expression $\sqrt{2(M-\omega+i\delta)}$ can then be expanded in powers of delta, leaving $\sqrt{2(M-\omega)}+i\delta$ (después de la expansión he redefinido delta para sacar los factores constantes - esto no importa porque vamos para el contorno de integrar ronda el poste de todos modos, así que al pasar el poste de arriba y abajo un poco no hace ninguna diferencia). De modo que el plano z se ve como el primer diagrama de aquí, donde la X es el desplazadas polo. En última instancia, deseamos evaluar la integral entre dos puntos en el eje real.
Bueno, la única cosa que puedo hacer es integrar ronda el verde de contorno se muestra en la segunda figura. La respuesta es solo $2\pi i$ veces el residuo en la simple polo, es decir, en este caso $$2\pi i\cdot\lim_{z \to {\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta}}(z-\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta)\cdot \frac{2z^2}{(z-\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta} $$, $$=2\pi i\cdot2\cdot(\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta)^2$$ $$=8\pi i \cdot(M-\omega')$$ aprox.
Esto se parece a lo que yo quiero, es decir, $4\pi i \cdot(M-\omega')$ con el fin de obtener la ecuación (42) (a excepción de un factor de 2). Sin embargo
(1) El siguiente paso sería relacionar el contorno cerrado integral a la integral a lo largo del eje real. Por desgracia, este se basa en el integrando de fuga para un gran $|z|$ positiva en la mitad de avión, pero este no parece ser el caso aquí
(2) Y de todos modos queremos que la integral entre a$\sqrt{2(M-\omega)}$$\sqrt{2M}$, así que ¿cómo puedo lidiar con la integral a lo largo de otras partes en el eje real (es decir, fuera de la región prohibida clásicamente)?
Todas las sugerencias serán bienvenidas (o una forma alternativa de calcular el túnel coeficiente de transmisión).
