Quiero encontrar una forma cerrada para los coeficientes de perturbación $a_n$ definido por la solución perturbadora $$ x( \varepsilon )=1+ \sum_ {n=1}^ \infty a_n \varepsilon ^n $$ a la ecuación quintica $$ x^5+ \varepsilon x-1=0. $$ Al computar el determinante, como se sugirió para este pregunta relacionada En cuanto al caso cúbico, podemos argumentar que el radio de convergencia de la serie anterior debe ser $$ \rho = \frac {5}{4^{4/5}}=1.64938 \dots $$ Además, el teorema de Lagrange-Bürmann nos permite escribir formalmente un formulario cerrado para los coeficientes, a saber $$ a_n= \frac {(-1)^n}{n!} \frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left ( \frac {x}{1+x+x^2+x^3+x^4} \right )^n_{x=1} $$ pero esto no parece muy iluminador. (Para el caso de la ecuación cúbica, una reescritura un poco más explícita, pero aún así engorrosa, fue posible gracias a la forma más simple de $a_n$ ).
Lo que me gustaría lograr es obtener $ \rho $ de la expresión explícita cerrada para el $a_n$ . Por lo tanto, me propuse calcular algunos de ellos. Aquí están: $$ a_1=- \frac {1}{5},\ a_2=- \frac {1}{5^2},\ a_3=- \frac {1}{5^3},\ a_4=0, \\ a_5= \frac {21}{5^6},\ a_6= \frac {78}{5^7},\ a_7= \frac {187}{5^8},\ a_8= \frac {286}{5^9},\ a_{9}=0, \\ a_{10}=- \frac {9367}{5^{12}},\ a_{11}=- \frac {39767}{5^{13}},\ a_{12}=- \frac {105672}{5^{14}},\ a_{13}=- \frac {175398}{5^{15}},\ a_{14}=0. $$ El comportamiento de la $a_n$ para $n=1, \ldots ,30$ apoya la siguiente conjetura: $$ \boxed { a_n = -(-1)^{ \lfloor n/5 \rfloor } \frac {c_n}{5^{ \alpha_n }} } $$ donde $$ \alpha_n = \sum_ {k=0}^ \infty \left\lfloor \frac {n}{5^k} \right\rfloor $$ y el $c_n$ son coeficientes enteros no negativos que no son divisibles por $5$ y desaparecen por $n=5m-1$ . Creo que $c_n$ debería ser algo de la forma $$ \frac {1}{4n+1} \binom {5n}{n} $$ que para $n=4$ está muy cerca de reproducirse $c_8=286$ y tiene una escala similar a la exhibida por el $c_n$ . Este problema también está motivado por esto video donde se sugiere que la respuesta se puede adivinar con cierto esfuerzo mirando fijamente los coeficientes lo suficientemente fuerte (27,08). Sin embargo, creo que necesito ayuda.
