Cuando intenté mostrar esto, no obtuve la integral de la derivada, sólo los otros términos, y no tengo idea de por qué. Aquí está el trabajo que tengo;
$\dfrac{d}{dx} \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\ dt$
Suponiendo que $f$ integrable con antiderivada $F$ :
$\dfrac{d}{dx} \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\ dt=\dfrac{d}{dx} [F(x,b(x))-F(x,a(x))]$
Por la regla de la cadena: \begin{align} \dfrac{d}{dx} \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\ dt=& \left(\dfrac{\partial F}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial F}{\partial b}\dfrac{\partial b}{\partial x}\right) - \left(\dfrac{\partial F}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial F}{\partial a}\dfrac{\partial a}{\partial x}\right)\\ =& \dfrac{\partial F}{\partial b}\dfrac{\partial b}{\partial x}-\dfrac{\partial F}{\partial a}\dfrac{\partial a}{\partial x}\\ =&f(b)b'(x)-f(a)a'(x) \end{align}
¿Dónde ha desaparecido el término integral? He mirado otras pruebas en Internet, pero todas son ese argumento infinitesimal tan feo.
