Deje $F_n\subset [0,1]$ ser una Grasa Conjunto de Cantor (de modo que $[0,1]\setminus F_n$ es densa) de la medida de Lebesgue $1 - 1/n$, y deje $F = \bigcup_n F_n$. ¿Existe una probabilidad de medida $\mu$ $[0,1]$ tal que $\mu(F + x) = 0$ todos los $x\in [0,1]$? Aquí $+$ es un cambio cíclico, por lo $0.5 + 0.6 = 0.1$.
Respuesta
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Si no me equivoco, el teorema de Fubini muestra que esto es imposible, como sigue \begin{eqnarray*} 0 & = & \int_{0}^{1}\mu\left(F+x\right)\,{\rm d}\lambda\left(x\right)\\ & = & \int_{0}^{1}\int1_{F+x}\left(y\right)\,{\rm d}\mu\left(y\right)\,{\rm d}\lambda\left(x\right)\\ & = & \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1_{y-F}\left(x\right)\,{\rm d}\lambda\left(x\right)\,{\rm d}\mu\left(y\right)\\ & = & \int_{0}^{1}\lambda\left(y-F\right)\,{\rm d}\mu\left(y\right)\\ & = & \int_{0}^{1}\lambda\left(F\right)\,{\rm d}\mu\left(y\right)=\lambda\left(F\right)\cdot\mu\left(\left[0,1\right]\right)=\lambda\left(F\right)=1. \end{eqnarray*} Aquí, he asumido que $\lambda$ es la medida de Lebesgue y $\mu$ es una medida de lo que usted desea tener.
