Expresar las soluciones de la ecuación de $ \tan(x) = x $ en forma cerrada.

Question

Sé que la ecuación de $ \tan(x) = x $ puede ser resuelto mediante métodos numéricos, pero estoy buscando una forma cerrada de las soluciones. En mi opinión, sólo tiene soluciones numéricas significa que no sabemos el problema, y más pronto o más tarde, vamos a ser capaces de encontrar una forma cerrada de la solución o, al menos, un de potencia de la serie solución.

Estoy buscando una forma explícita de una secuencia $ (x_{n})_{n \in \mathbb{Z}} $ $ \mathbb{R} $ tal que

• $ 0 < x_{0} < \dfrac{\pi}{2} $,
• $ \tan(x_{n}) = x_{n} $ todos los $ n \in \mathbb{Z} $, y
• $ (2 n - 1) \dfrac{\pi}{2} < x_{n} < (2 n + 1) \dfrac{\pi}{2} $ todos los $ n \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} $.

La existencia de este tipo de secuencia se sigue de la continuidad de la $ x \mapsto \tan(x) - x $ más de su dominio. Su singularidad se sigue de la monotonía de $ \tan(x) - x $ durante los intervalos de $$ \left( (2 n - 1) \frac{\pi}{2},(2 n + 1) \frac{\pi}{2} \right) \quad n \in \mathbb{Z}. $$

Answer 1

Como Hagen sucintamente menciona en su comentario anterior, si una ecuación tiene una forma cerrada de la solución o no, depende de las funciones que usted desea reconocer como "elemental". Preguntas acerca de la existencia de la forma cerrada de soluciones normalmente respondió el uso diferencial de la teoría de Galois.

Por lo tanto, no puede responder a su pregunta, pero por lo menos puedo citar las fórmulas de forma cerrada para algunos infinito sumas cuyos términos son fijos negativo-de potencias enteras de la real positivo soluciones de $ \tan(x) = x $.

Teorema: Si $ (\lambda_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ indica la secuencia de los reales positivos soluciones de $ \tan(x) = x $, en orden creciente, entonces \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}} &= \infty, \\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}} &= \frac{1}{10}, \\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{4}} &= \frac{1}{350}. \end{align}

Referencia

L. Hermia & N. Saito. En Rayleigh-Tipo de Fórmulas para un No-local de Valor en la Frontera Problema Asociado con un Integrante del Operador de los Desplazamientos con el Laplaciano, preprint presentado a la Revista de Análisis Matemático y Aplicaciones (2010).