Hallar el Área Encerrada por la Curva de

Question

Quiero encontrar el área encerrada por el plano de la curva de $x^{2/3}+y^{2/3}=1$. Mi intento fue el de establecer $x=\cos^3t, \ y=\sin^3t$ así:$$x^{2/3}+y^{2/3}=\cos^2t+\sin^2t=1$$

Entonces el área es $$2A=\oint_Cxdy-ydx=3\oint_C\cos^3ty'dy+\sin^3tx'dx=3\int_0^{2\pi}\cos^2t\cdot \sin^2tdt=\frac{3\pi}{4}\implies A=\frac{3\pi}{8}$$

Sin embargo, cuando hice una curva de nivel de la parcela tengo la siguiente figura:

lo hace "el área encerrada por la figura de" sentido? Para la gráfica de arriba, mi calculadora me da $A=\frac{3\pi}{32}$.

Answer 1

Sólo gráficamente el primer cuadrante de la curva. Hay $3$ otras partes, obtenidos por los reflejos en los ejes. Por la nota que $(x,y)$ está en la curva, si y sólo si $(-x,y)$ está en la curva, si y sólo si $\dots$.

El área de la región que encierran se $\frac{3\pi}{8}$. Su cálculo es correcto. Si desea que sólo el primer cuadrante de la zona (pero eso no es lo que se pide) división por $4$, o a la integración de $0$ $\pi/2$en lugar de $0$$2\pi$.

Answer 2

En simples coordenadas cartesianas, a través de la sustitución de $x=z^{3/2}$ y la función Beta de Euler, $$ A = \int_{0}^{1}(1-x^{2/3})^{3/2}\,dx = \frac{3}{2}\int_{0}^{1}z^{1/2}(1-z)^{3/2}\,dz=\frac{3}{2}\,B\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)\tag{1}$$ por lo tanto: $$ A = \frac{3\,\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{2\,\Gamma(4)}=\color{red}{\frac{3\pi}{32}}\tag{2}$$ como quería.

Answer 3

Observe que hemos simetría acerca de la $y$ $x$ ejes. Por lo tanto podemos usar la fórmula $$y=(1-x^{2/3})^{3/2}$$ Que le da la mitad superior, integrar de$x=0$$1$, y luego se multiplica por $4$, la explotación de la simetría. Por lo tanto, tenemos $$A=4\int_0^1(1-x^{2/3})^{3/2}dx$$ Dejar $x=\cos(u)^{6/2}=\cos^3(u)$, $dx=-3\cos^2(u)\sin(u)du$ tenemos $$\begin{align} A &=4\cdot 3\int_0^{\pi/2}\sin^4(u)\cos^2(u)du \\ &= 4\cdot\frac{3\pi}{32} \end{align}$$ Por lo tanto, tenemos el área de $3\pi/32$ como lo tienes, pero debemos tener en cuenta para el resto de piezas.