¿Por qué la propagación de las incertidumbres es cuadrática en lugar de lineal?

Question

1) Hasta ahora, durante las sesiones de trabajo práctico, siempre usé estas fórmulas para la propagación de la incertidumbre:

si $C = A+B$ o $C = A-B$ $$ \Delta C = \Delta A + \Delta B$$ si $C = AB$ o $C = \frac {A}{B}$ $$ \frac { \Delta C}{C} = \frac { \Delta A}{A} + \frac { \Delta B}{B}$$ si $C = A^m$ $$ \frac { \Delta C}{C} = |m| \frac { \Delta A}{A}$$

Estas fórmulas se derivan de la expresión para el diferencial de una función de múltiples variables:

si $C = f(A,B)$ $$ dC = \frac { \partial C}{ \partial A}dA + \frac { \partial C}{ \partial B}dB \Rightarrow \Delta C = \frac { \partial C}{ \partial A} \Delta A + \frac { \partial C}{ \partial B} \Delta B$$

y creo que tiene sentido porque el valor C es sólo una función de dos variables que resultan ser mediciones.

2) Pero esta mañana, me dijeron que esto está mal y que debería usar esto en su lugar:

si $C = A+B$ o $C = A-B$ $$( \Delta C)^2 = ( \Delta A)^2 + ( \Delta B)^2$$ si $C = AB$ o $C = \frac {A}{B}$ $$ \left ( \frac { \Delta C}{C} \right )^2 = \left ( \frac { \Delta A}{A} \right )^2 + \left ( \frac { \Delta B}{B} \right )^2$$

que aparentemente se derivan de una fórmula general:

$$( \Delta C)^2 = \left ( \frac { \partial C}{ \partial x_1} \Delta x_1 \right )^2 + \left ( \frac { \partial C}{ \partial x_2} \Delta x_2 \right )^2 + \hspace {0.3cm}...$$

o

$$ \Delta C = \sqrt { \left ( \frac { \partial C}{ \partial x_1} \Delta x_1 \right )^2 + \left ( \frac { \partial C}{ \partial x_2} \Delta x_2 \right )^2 + \hspace {0.3cm}...}$$

3) Así que:

• ¿Por qué es mejor esta fórmula?
• ¿De dónde viene?
• ¿Qué representa realmente? (¿Reconozco la forma de una norma en esa última fórmula?)
• ¿Qué tiene de malo la fórmula del diferencial?

Pido mucho, pero la propagación de la incertidumbre siempre me confundió.

Answer 1

Creo que la forma más fácil de entender esto está en la fórmula de la adición. Si consideras tu cantidad $C$ que depende de $A$ y $B$ de tal manera que $C=A+B$ entonces la fórmula $ \Delta C = \Delta A + \Delta B$ sobreestima los valores de error. Puedes visualizar esto como un rectángulo con $A$ en el eje X y $B$ en el eje Y, siendo el área delimitada $ \Delta C$ . Sin embargo, la probabilidad de tener errores en las esquinas, es decir, los valores extremos para ambos $A$ y $B$ son muy pequeños. Por lo tanto, en lugar de usar un rectángulo para representar el error, usamos una elipse con $ \Delta C^2 = \Delta A^2 + \Delta B^2$ . Esto elimina los valores de error extremadamente improbables.

Answer 2

Estas nuevas fórmulas son una forma de "sumar en cuadratura". A mi entender es una forma de combinar errores reconociendo que el "peor caso" de sumar dos errores no es probable que ocurra, si esos errores son independientes. Por ejemplo, si se mide el área de un rectángulo midiendo su longitud con una regla, y su anchura con algún tipo de aparato de medición de láser/luz, entonces los dos errores en estas mediciones son independientes, y será bastante improbable que en conjunto se obtengan dos errores en la misma dirección (por ejemplo, ambas sobremediciones). La cuadratura trata de tener esto en cuenta enfrentándolos entre sí en algún sentido, y tienes razón, hay alguna noción de la norma implicada.