Serie de Eisenstein

Question

Mostrar que todos los Eisenstein serie $G_k$ puede ser expresado como polinomios en $G_4$$G_6$, por ejemplo, expresar $G_8$ $G_{10}$ de esta manera. Sugerencia: Establecimiento $a_n := (2n+1)G_{2n+2}$, muestran que $2n(2n-1)a_n = 6(2a_n + \sum\limits_{k=1}^{n-2} a_{k}a_{n-1-k})$ , $n>2$

Obviamente, lo tengo problemas para probar, es la Sugerencia. Parece que, como debo utilizar la segunda derivada de la función de Weierstrass de la representación, el uso de la Eisenstein de la serie (es decir,$\wp = \displaystyle\frac{1}{z^2} + \sum\limits_{m=1}^{\infty} (2m+1)G_{2m+2}z^{2m}$), pero no estoy seguro de que la suma de la derecha viene.

Cualquier ayuda será apreciada.

EDIT: alguien Puede ayudarme un poco más?

Answer 1

Utilizan la equaltion diferencial satisfecho por $\wp$: $$ \wp'^2 = 4\wp^3 -g_2 \wp -g_3 $ $ de esto obtienes fácilmente (como $g_2 = 60 G_4$) $$ \wp'' = 6 \wp^2 -10 a_1 $ $, que se traduce directamente en la pista si sustituye $\wp$ con la serie da.

EDIT: Para aclarar más, cuadratura $$ \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{m>=1} a_m z^{2m} $ $ da $$ \begin{align*} \wp(z)^2 &= \frac{1}{z^4} + \frac{2}{z^2}\sum_{m\ge1} a_m z^{2m} + \left(\sum_{m>=1} a_m z^{2m}\right)^2 =\\ &= \frac{1}{z^4} + 2\sum_{m\ge 1} a_m z^{2m-2} + \sum_{m\ge 1} z^{2m} \sum_{k,l \ge 1, k+l = m} a_ka_l\\ &= \frac{1}{z^4} + 2\sum_{m\ge 1} a_m z^{2m-2} + \sum_{m\ge 2} z^{2m-2} \sum_{k=1}^{m-2} a_ka_{m-1-k} \end{align*} $$ espero esto te sirva.