Digamos que sólo puedo realizar una operación (la suma), de la suma puedo derivar la resta añadiendo un número negativo. Además, de la suma podría derivar la multiplicación, como $ a n $ , sólo hay que añadir $ a $ a sí mismo $n$ tiempos. Lo mismo para la división pero con números negativos (¿cuántas veces sumo un negativo $a$ a sí mismo para llegar a $0$ . La exponenciación es una multiplicación glorificada y existen algoritmos que sólo utilizan la división, la suma, la resta y la multiplicación para encontrar raíces cuadradas y logaritmos. El pecado se puede expresar como una serie de Taylor que sólo implica la exponenciación y la multiplicación y la suma. Mi pregunta es si todas las operaciones matemáticas (como la diferenciación, la integración, etc.) pueden reducirse de este modo. Quizá permitiendo también la multiplicación, de modo que $i^2$ podría seguir siendo -1.
Respuestas
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Es un resultado fundamental en la informática teórica que existe un algoritmo universal: una función parcial computable $U$ con la propiedad de que para cada función computable $f$ hay un $n$ tal que $$ \forall x:~ f(x)=U(n,x) $$ (Esencialmente, $n$ puede elegirse como un programa que calcule la función, codificada como un número de alguna manera apropiada, y $U$ es la función que indica cómo ejecutar programas en algún lenguaje de programación).
Esto da al menos una respuesta parcial a la pregunta del título.
Sin embargo, las matemáticas también pueden hablar de funciones que pas computables, y que no se realizan mediante el algoritmo universal habitual. Pero si queremos el caso en el que $f$ no es computable para ser manejado, por equidad también deberíamos permitir $U$ para que no sea computable.
Explorar exactamente cuántas funciones podemos meter en un solo $U$ nos adentra en algunos retorcidos caminos fundacionales. Sin embargo, resulta que prácticamente todas las funciones que se encuentran en las matemáticas "ordinarias" puede especificarse de forma inequívoca mediante una fórmula lógica construida a partir de la suma y la multiplicación, las constantes $0$ y $1$ y la cuantificación sobre subconjuntos de $\mathbb C^n$ y funciones entre dichos subconjuntos. En este caso pero puede decir en la matemática estándar que hay un (no computable) $\bar U$ de manera que siempre que $f$ es una función con tal especificación, hay un número $m$ tal que $f(x)=\bar U(m,x)$ .
[No es esencial qué restricciones ponemos en el tipo de fórmula que se puede utilizar para especificar $f$ pero nos metemos en problemas fundacionales a menos que haya algunos tales restricciones -- más técnicamente debería haber un repertorio predeterminado de conjuntos sobre los que la fórmula puede cuantificar. De hecho, se puede utilizar un repertorio más restringido que el expuesto anteriormente, a costa de especificaciones menos naturales para muchas funciones].
En mi curso universitario de Análisis Numérico hicimos exactamente esto. Todo se redujo a la simple tabla de verdad $0+0=0$ , $1+0=1$ , $0+1=1$ y $1+1=0$ llevar $1$ .
Hicimos integración, ecuaciones diferenciales, problemas de valores propios, operaciones matriciales, polinomios de Chebyshev, etc.
No puedo decir que se puedan hacer TODAS las matemáticas ya que no conozco TODAS las que existen. Pero todas las matemáticas que he estudiado se podían resolver de esta manera y sólo usábamos Fortran IV para hacerlo.
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Depende de lo que quieras decir; por ejemplo, no hay ningún algoritmo para decidir si un número computable es $0$ (ver Teorema de Richardson ). Pero, por otro lado, podemos hacer casi todo con una precisión arbitraria. (Aunque no, por ejemplo, decidir si un algoritmo termina o no)