¿Cómo cambia la temperatura de una esfera sólida con el tiempo cuando se mueve a través de un gas?

Question

Estoy interesado en el siguiente problema: Hay una esfera sólida con radio $r$ y la masa $m$ a la temperatura $T_{s0}$ . Se mueve a la velocidad $v_s$ a través de un gas de temperatura $T_g$ . Como la temperatura de la esfera, $T_s$ ¿Cambiar con el tiempo?

Un boceto:

Creo que tengo que considerar los siguientes efectos:

• Pérdidas por radiación
• la conducción térmica en la interfaz sólido/gas
• Transporte de gas caliente fuera de la esfera debido a $v_s$

Mi enfoque es:

$$ T_s(t) = T_{s0} + m c \Delta E_s(t)$$

Dónde $c$ es la capacidad calorífica específica y $\Delta E_s(t)$ el cambio de energía térmica en la esfera. Para esta última he establecido una ecuación que incorpora la Ley de Stefan Boltzmann .

$$ \Delta E_s(t) = - \int_0^t \sigma A (T_s(t)^4-T_g^4) dt + \Delta E_\text{cond}(t) + \Delta E_\text{conv}(t)$$

Así que, asumiendo que esta ecuación y aunque el proceso es correcto, mi pregunta se reduce a cómo tomar la conducción térmica (¿y la convección?) representada por $\Delta E_\text{cond}(t)$ y \Delta E_\text{conv}(t) en la ecuación superior en cuenta.

Editar: Para aclarar la magnitud del interés por $v_s$ , $T_s$ y $T_g$ : $v_s$ es de unos 0,5 a 5 m/s, el $T_s - T_g$ está en el rango de 100 a 300 °C.

Answer 1

Así que en primer lugar, voy a tener que romper a usted que este $\Delta E_\text{cond}(t) + \Delta E_\text{conv}(t)$

es, con mucho, la parte más complicada. Hay una ecuación sencilla $\frac{q}{A} = h\Delta T$ donde $q$ es el flujo de calor (W/m^2), $A$ es la superficie del objeto, $\Delta T$ es la diferencia de temperatura entre la masa del fluido y el objeto y $h$ es el coeficiente de transferencia de calor. Por desgracia, $h$ es bastante difícil de determinar, ya que depende de las propiedades del fluido y de su régimen de flujo, así como de la geometría del problema.

Para determinar el coeficiente de transferencia de calor definimos una serie de magnitudes adimensionales como $Pr$ el número de Prandtl. Es la relación entre la difusividad del momento y la difusividad térmica del fluido. En efecto, describe el tamaño relativo de las capas límite térmica y de velocidad del fluido. Para un nivel bajo de $Pr$ la conducción a través del fluido domina (Mercury tiene un Pr de alrededor de 0,015). En el caso opuesto del aceite de motor, la difusividad del momento es mucho mayor, por lo que domina la convección (Pr de 100 a 40000). El número de Prandtl del aire y de la mayoría de los gases es de entre 0,7 y 0,8.

Obviamente, el número de Reynolds del fluido, $\Re _\text{L}$ va a ser importante y se define como $\Re = \frac{v L}{\nu}$

Esto describe el régimen de flujo alrededor del objeto donde $L$ es una longitud característica y puede tomarse como el diámetro de la esfera en este caso. $\nu$ es la viscosidad cinemática y $v$ es la velocidad del objeto respecto a la masa del fluido. Para la sustancia y la temperatura adecuadas, puedes encontrar la viscosidad cinemática de tu gas y luego calcular el número de Reynolds apropiado.

Por último, definimos el número de Nusselt. $Nu _\text{L} = \frac{h L}{k}$

donde $L$ es de nuevo la longitud característica, $h$ es el coeficiente de transferencia de calor y $k$ es la conductividad térmica del fluido que se evalúa a la temperatura de la película. Se define como la media aritmética de la temperatura de la masa del fluido $T _\text{g}$ también conocido como $T _\infty$ y la temperatura en el límite sólido.

Como pequeño inciso mencionaré el número de Biot. $Bi = \frac{h L}{k _\text{b}}$

donde los símbolos tienen su significado habitual, excepto $k _\text{b}$ es la conductividad térmica del cuerpo (su esfera en este caso). Si es 0,1 o menos, la conducción a través del cuerpo sólido es suficiente para suponer que el cuerpo no tiene un gradiente de temperatura interno (lo que simplifica el problema).

Ahora vamos a resolver el problema. Queremos expresar el número de Nusselt en términos de los números de Prandtl y Reynolds para encontrar una expresión para $h$ . Desgraciadamente, esto es muy difícil, pero afortunadamente grandes cohortes de experimentadores se han dedicado a este problema por nosotros.

Para el flujo externo sobre una esfera, T. Yuge (no tengo una referencia explícita para esto ver el enlace del libro de texto al final) encontró la siguiente correlación $Nu = 2 + 0.43 Re ^\frac{1}{4} $ .

Esto es para Pr aproximadamente igual a 1 y número de Reynolds entre 1 y 10000.

(No he podido encontrar otra correlación cuando el Pr está más cerca del rango esperado para el aire y la mayoría de los otros gases. Tendrás que aceptar esta aproximación o encontrar tu propia información lo siento).

Decide las características apropiadas de tu fluido y tu sólido. Calcula los números de Reynolds y, por tanto, de Nusselt, y luego el coeficiente de transferencia de calor. Utiliza esto para resolver el flujo de calor para una diferencia de temperatura adecuada y luego ponlo en tu integral con tu término de radiación para resolver el cambio total de energía. Creo que eso es todo. Aquí hay un libro de texto que entra en mucho detalle:

http://www.unimasr.net/ums/upload/files/2012/Sep/UniMasr.com_919e27ecea47b46d74dd7e268097b653.pdf

Espero que esto sea útil.