Qué $e$ tiene una representación geométrica?

Question

Como $\pi$ es la proporción de la circunferencia de un círculo a su diámetro? Sé que la línea tangente a la función $e^x$ tiene una pendiente de $e^x$ en ese punto, pero ¿hay alguna otra representación geométrica? Gracias!

Answer 1

Hay que considerar el área bajo la hipérbola $y=\frac{1}{x}$, por encima de la $x$-eje, de$1$$a$. Esta área es $1$ precisamente si $a=e$.

Answer 2

En este artículo http://arxiv.org/abs/0704.1282Jonathan Sondow describe una construcción geométrica del número de $e$ que es diferente en el sabor de las otras respuestas. La idea es que su construcción es una representación geométrica de la identidad de $$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n!}.$$

Es muy legible para cualquiera que esté familiarizado con la convergencia de las secuencias, por lo que cualquier persona que ha tomado y entendido segundo semestre de cálculo.

Answer 3

Como $\int_1^e \dfrac{1}{x} dx = 1$, podemos decir que el $e$ es la longitud a lo largo de la $x$-eje, dando a la zona de $1$ por debajo de la curva de $y= \dfrac{1}{x}$. (Véase cuadro.)

Answer 4

Normalmente trabajamos con esto de la siguiente manera: se introduce el $\ln$ función como la función que mide el área bajo la hipérbola $xy=1$ $x=1$ a algún otro punto de $x=t$, de modo que podemos definir como:

$$\ln t=\int_1^t \frac{dx}{x}$$

Luego de demostrar que esta función poseer las propiedades que desee. Hay un número de $x$, de tal manera que usted tiene $\ln x = 1$, y este número es lo que llamamos $e$, de modo que tenemos:

$$\ln e=\int_1^e \frac{dx}{x}=1$$

Ahora que ha definido este número $e$ simplemente como la coordenada del punto de $x$ de manera tal que el área bajo la hipérbola $xy=1$ $x = 1$ $x=e$es la unidad. Con algunos trucos ellos se puede encontrar que las estimaciones de este número, e incluso mostrar que es transcedental.

Para obtener más información sobre el tema ver Spivak del Cálculo.

Answer 5

Creo que no es sólo una cuestión de la recta tangente en el punto general de tener pendiente $e^x$. Más bien, como la gráfica cruza el $y$-eje, la pendiente es exactamente uno. De hecho, esto nos da una manera de aproximar $e$ en el primer lugar.

Examinar las gráficas de funciones de la forma $f(x)=a^x$. Como $a$ aumenta, estos se vuelven más escarpadas. Al $a=2$, la pendiente de la gráfica cruza el $y$-eje es de alrededor de $0.69$. Al $a=3$, la pendiente de la gráfica cruza el $y$-eje es acerca de $1.09$. Hay una muy especial entre la cantidad de $2$$3$, donde la pendiente es exactamente $1$. Este número es probablemente un poco más cerca de $3$$2$.