Límite de una función de dos variables que involucra arcsin y arctan

Question

Recientemente me encontré con este problema de encontrar el límite de una función en dos variables a medida que nos acercamos al origen, definido de la siguiente manera:

$$ \lim_ {(x,y) \to (0,0)} \frac { \arcsin (x+2y)}{ \arctan (2x+4y)}$$

Esto estaba en la prueba intermedia de nuestro curso de Cálculo Multivariable. Mientras que todos los caminos que pasan por el origen que he probado, parecen dar el límite $ \frac {1}{2}$ que parece razonable al reconocer el hecho de que el argumento del arctan es el doble que el del arcsin y la lógica del límite de una sola variable: $ \lim_ {x \to 0} \frac { \arcsin (x)}{ \arctan (2x)}$ . Sin embargo, no es suficiente para probar que el límite es efectivamente, $ \frac {1}{2}$ ya que la prueba de los dos caminos es una prueba de la inexistencia de límite y no de la existencia de uno. Incluso he probado el Teorema de Sándwich y he evaluado el límite convirtiéndolo en coordenadas polares, pero no he llegado a ninguna conclusión, por supuesto.

Me pregunto si el ajuste (x+2y) como algún parámetro t seguido de la tendencia t a cero funcionaría, pero de nuevo eso sería lo mismo que la prueba a lo largo del camino x=-2y.

Estoy realmente aturdido por este problema y después de largos esfuerzos para resolverlo, no tengo respuesta. Cualquier indicio sobre la dirección que debo seguir o la solución sería muy apreciada.

Answer 1

Si se desea utilizar el teorema de la compresión, se puede proceder como sigue. Obsérvese que en Esta respuesta , demostré que para $|x|\le 1$

$$|x|\le |\arcsin (x)|\le \frac{|x|}{\sqrt{1-x^2}} \tag 1$$

y en Esta respuesta , demostré que

$$\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}\le |\arctan(x)|\le |x| \tag 2$$

Utilizando $(1)$ y $(2)$ vemos que

$$\frac{x+2y}{2x+4y}\le \frac{\arcsin(x+2y)}{\arctan(2x+4y)}\le \frac{\frac{x+2y}{\sqrt{1-(x+2y)^2}}}{\frac{2x+4y}{\sqrt{1+(2x+4y)^2}}}$$

que se simplifica a

$$\frac12\le \frac{\arcsin(x+2y)}{\arctan(2x+4y)}\le \frac12 \sqrt{\frac{1+(2x+4y)^2}{1-(x+2y)^2}} \tag 3$$

Aplicando el teorema de la compresión a $(3)$ llegamos al codiciado límite

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\arcsin(x+2y)}{\arctan(2x+4y)}=\frac12$$

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Alternativamente, podemos parametrizar el problema estableciendo $t=x+2y$ . Entonces, como $(x,y)\to (0,0)$ , $t\to 0$ también. Nótese que esto no presupone nada respecto a una relación entre $x$ y $y$ . Simplemente hemos definido una nueva variable como una combinación lineal de ellas. Todo lo que necesitamos saber es que para todo $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que $$\left|\frac{\arcsin(t)}{\arctan(2t)}-\frac12\right|<\epsilon$$ siempre que $0<|t|=|x+2y|<\delta$ .

Answer 2

En primer lugar, afirmamos que $$ \lim_{t\to 0} \frac{\arcsin{t}}{t} = 1 $$ Esto viene de la regla de L'Hôpital, o si se quiere, del teorema de la función inversa (este límite es la definición de la derivada de arcsin en $t=0$ ).

Dado $\epsilon>0$ existe un $\delta_1 > 0$ tal que $$ 0 < |t| < \delta_1 \implies \left|\frac{\arcsin t}{t} -1 \right| < \epsilon$$ Dejemos que $\delta = \frac{\delta_1}{3}$ y supongamos que $0<\sqrt{x^2 + y^2} < \delta$ . Entonces cada uno de $|x|$ y $|y|$ también son $< \delta$ Así que $$ 0 < |x+2y| \leq |x| + 2|y| < 3\delta = \delta_1 $$ Desde $0 < |x+2y| < \delta_1$ Sabemos que $$ \left|\frac{\arcsin(x+2y)}{x+2y}-1\right| < \epsilon $$ Como esto funciona para cualquier $\epsilon > 0$ Sabemos que $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\arcsin(x+2y)}{x+2y} = 1 $$

De forma muy similar, se puede demostrar que $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2x+4y}{\arctan(2x+4y)} = 1 $$ Juntando todo esto, \begin {align*} \lim_ {(x,y) \to (0,0)} \frac { \arcsin (x+2y)}{ \arctan (2x+4y)} &= \lim_ {(x,y) \to (0,0)} \left ( \frac { \arcsin (x+2y)}{x+2y} \cdot\frac {2x+4y}{ \arctan (2x+4y)} \cdot\frac {1}{2} \right ) \\ &= \lim_ {(x,y) \to (0,0)} \frac { \arcsin (x+2y)}{x+2y} \cdot \lim_ {(x,y) \to (0,0)} \frac {2x+4y}{ \arctan (2x+4y)} \cdot\frac {1}{2} \\ &=1 \cdot 1 \cdot \frac {1}{2} = \frac {1}{2} \end {align*}

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Ahora que lo pienso, probablemente puedas empezar con $$ \lim_{t\to 0} \frac{\arcsin t}{\arctan 2t} = \frac{1}{2} $$ y ahorrar un paso. Pero bueno.