¿Cómo depende la difracción de Fraunhofer de la orientación de las caras de una lente?

Question

Matt en su respuesta en ¿Qué nos dice un sol hexagonal sobre el objetivo/sensor de la cámara? menciona

Por cierto, el número de (distintos) puntos de la estrella es igual al doble el número total de orientaciones* en los lados de la forma de la abertura, es decir, tres hojas serían seis puntos, seis hojas serían también seis puntos, ya que un hexágono sólo tiene tres orientaciones únicas en sus lados.

* una abertura hexagonal tiene seis lados pero sólo tres orien hay tres pares de lados paralelos paralelos.

Creo que tiene sentido tener una estrella de tres puntas en caso de tres cuchillas.

Pero, ¿cómo es posible que una abertura de seis palas dé también como resultado una estrella de tres puntas?

Answer 1

De fondo

Como se ha indicado en la respuesta que se vinculó a la propagación de la luz en la pupila de un sistema de imagen al plano de la imagen puede ser modelado por una muy buena aproximación llamado Difracción de Fraunhofer.

$$ U(x,y) \propto \int\int u(\xi, \eta) e^{-i\frac{2\pi}{\lambda z}(x\xi+y\eta)} d\xi d\eta $$

donde $\xi$ $\eta$ son x e y las coordenadas en el alumno plano, $u(\xi, \eta)$ es el campo de la óptica en el alumno plano, y $U$ es el campo de la óptica en el plano de la imagen.

En virtud de las sustituciones

$$ \begin{eqnarray} \mathcal{f}_x &= &\frac{x}{\lambda z} \\ \mathcal{f}_y &= &\frac{y}{\lambda z} \\ \end{eqnarray} $$

Difracción de Fraunhoffer es simplemente una transformada de Fourier (FT). Por lo tanto es más fácil escribir:

$$ U(x,y) \propto \mathcal{F}\left[ u(\xi,\eta) \right] $$

donde $\mathcal{F}$ va a representar a los PIES, incluyendo los factores de escala y sustituciones mencionado.

Una propiedad de la FT importante para esta discusión es el llamado Teorema de Convolución. En los términos relevantes a esta respuesta, este teorema establece que la multiplicación de dos patrones en la pupila de la lente es equivalente a la convolución de la FT de esos patrones en el plano de la imagen. Podemos escribir esto como:

$$ \mathcal{F}\left[ u(\xi,\eta) \right] \otimes \mathcal{F}\left[ p(\xi,\eta) \right] \propto \mathcal{F}\left[ u(\xi,\eta) \times p(\xi,\eta) \right] $$

o

$$ U(x, y) \otimes P(x,y) \propto \mathcal{F}\left[ u(\xi,\eta) \times p(\xi,\eta) \right]$$

donde $P(x,y)$ es el pie de la función pupilar $p(\xi,\eta)$, e $\otimes$ es el operador de convolución.

Respuesta

Entonces, ¿cómo se aplica esto en el caso de la lente de una cámara? Así, en la pupila de la lente de una cámara, hay algunas campo de la óptica, es decir, con algún patrón de luz en su camino hacia el plano de la imagen. Tenga en cuenta que todavía no es una imagen claramente enfocada, pero un campo de la óptica que se convierten en una imagen en el momento en que llega al sensor de imagen. También en este plano es el diafragma, que bloquea parte de la luz. Este diafragma puede ser considerado como una función que se multiplica por el campo de luz en su camino a través de la pupila. Se multiplica el entrante presentada por 1 donde hay apertura es clara, y por 0, donde la luz es bloqueada. En otras palabras:

$$ p = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \text{where the aperture is clear} \\ 0 & \text{where the aperture blocks light} \end{array} \right. $$

Así, con base en los antecedentes mencionados, sabemos que la imagen que vemos será la convolución de la imagen ideal $U$ con los PIES de la función pupilar, $P$. Esto hará fuentes de luz brillante en la imagen toman la forma de los PIES de la función pupilar, que es la razón por la $P$ que se suele llamar el punto de la función de dispersión (PSF) de la lente de la cámara*.

Entonces, ¿qué $P$? El cálculo exacto de la necesaria FT es confusa y complicada, pero hay una regla básica que proporciona una buena descripción cualitativa de los PIES de algunas formas básicas:

Los bordes afilados de la entrada con los PIES están representados por los brillantes rayas en la salida, con la orientación de la traza perpendicular a la arista que lo produjo.

Así, un espacio triangular tiene 3 aristas, y por lo tanto la resultante de la PSF tiene 3 rayas, que produce una estrella de 6 puntas. En las imágenes de abajo se puede ver un ejemplo en el que me han producido una forma triangular para representar a la abertura de la lente, y el resultado de la PSF:

En el (más realista) en el caso de un hexágono de apertura, no va a ser técnicamente 6 rayas, pero debido a que los lados opuestos de un hexágono son paralelos entre otras, las rayas en el PSF se hará en paralelo pares, de modo que se superponen y que sólo va a ver 3 vetas pronunciadas en la imagen.

*Esto sólo es cierto en el caso de que la lente es ópticamente perfecto. En realidad, las aberraciones en la óptica también contribuir a la PSF, pero una descripción de que es más allá del alcance de esta respuesta.

Answer 2

Difracción Fraunhofer es prácticamente una transformada de Fourier bidimensional. Así que sólo tenemos que intentar hacer una transformada de Fourier de una función apropiada y ver cuántos rayos parece la "estrella" resultante.

1. Apertura hexagonal. Tomo la siguiente función: $$ \begin{split} h(x,y) = \left[\theta(2y+\sqrt{3})-\theta(2y-\sqrt{3})\right]\cdot \left[\theta(y-\sqrt{3}(x-1))-\theta(y-\sqrt{3}(x+1))\right]\cdot\\ \left[\theta(y-\sqrt{3}(-x-1))-\theta(y-\sqrt{3}(1-x))\right] \end{split}$$ Con $\theta(x)$ -- es un Función escalón de Heaviside .
   Aunque en principio es posible calcular a mano la transformada de Fourier, acabo de introducirla en el CAS y he obtenido algo parecido a esto: $$\frac{2\sqrt{3}\omega_x\left(\cos\frac{\omega_x}{2}\cos\frac{\sqrt{3}\omega_y}{2} -\cos\omega_x\right)-6\omega_y\sin\frac{\omega_x}{2}\sin\frac{\sqrt{3}\omega_y}{2}} {\pi \omega_x(\omega_x^2-3\omega_y^2)}$$ ...además de algunos términos singulares que he descartado.
   Trazado del cuadrado del resultado (de -100 a 100):
   

2. Apertura triangular. Tomo la siguiente función: $$ t(x,y) =\theta(2y+\sqrt{3})\theta(\sqrt{3}(x+1)-y)\theta(-\sqrt{3}(x-1)-y)$$ Después de la transformada de Fourier, tomar el cuadrado y trazar: