$\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\left\lvert re^{it}-\zeta\right\rvert\,dt$?

Question

Probar que si $\zeta \in \mathbb{C}$ $r>0$ $\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\left\lvert re^{it}-\zeta\right\rvert\,dt = \log \left\lvert\zeta\right\rvert\,$ si $\,r\leq \left\lvert\zeta\right\rvert$, $\,\log r\,$ si $\,r> \left\lvert\zeta\right\rvert$.

Yo:

En primer lugar me considere el caso donde $\zeta=0$. A continuación, sólo tenemos el caso donde $r>\left\lvert\zeta\right\rvert$. A continuación, el resultado es obvio.

Ahora supongamos $\zeta\neq 0$. A continuación,$\left\lvert\zeta\right\rvert>0$. Supongamos $0<r'<\left\lvert\zeta\right\rvert$. Deje $u\left(z\right)=\log\left\lvert z\right\rvert$$z\in \mathbb{C}$. A continuación,$u\left(-\zeta\right)>-\infty$. Por lo $u\left(z\right)$ es armónico cerca de $-\zeta$. Así que no hay $\rho>0$ $(\rho$ depende de a $-\zeta)$ tal que $u\left(-\zeta\right)=\log\left\lvert\zeta\right\rvert=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\left\lvert re^{it}-\zeta\right\rvert \, dt\,$ todos los $0\leq r<\rho$. Ahora si $r'<\rho$, entonces hemos terminado. Pero lo que si $r'>\rho$? Que es el lugar donde me quedé. Puede alguien por favor me ayude a resolverlo? Por otra parte, no sé cómo manejar el caso en que $r'=\left\lvert\zeta\right\rvert$ para el problema original. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Si $\,\left\lvert\zeta\right\rvert<r$ y $\left\lvert re^{it}-\zeta\right\rvert = \big\lvert re^{-it}-\overline\zeta\big\rvert = \big\lvert r-\overline\zeta e^{it}\big\rvert$, así que podemos aplicar la propiedad del valor medio $z\mapsto \log\big\lvert r-\overline{\zeta}z\big\rvert$ y obtener $\displaystyle\frac1{2\pi}\int = \log\big\lvert r-\overline{\zeta}\cdot0\big\rvert = \log r$.

Como se mencionó en los comentarios, $\left\lvert \zeta\right\rvert=r$ puede considerarse un caso límite.