Eventos en la cola $\sigma$-álgebra

Question

Estoy teniendo un poco de problemas para la comprensión de lo que es exactamente la cola $\sigma$-álgebra.

Sólo así estamos todos en la misma página, mi libro se define la cola $\sigma$-álgebra como este:

Deje $X_n$ ser una secuencia de variable aleatoria definida en $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. Define $\mathcal{B}_n = \sigma(X_n)$, $\mathcal{C}_n = \sigma(\cup_{p \ge n} \mathcal B_p)$, $\mathcal C_\infty = \carpeta cap_{n=1}^\infty \mathcal C_n$. $\mathcal C_\infty$ is called the tail $\sigma$-álgebra.

Supongamos ahora que $X_n$ son independientes. Estoy teniendo problemas para entender por qué los siguientes son verdaderas (estamos hablando de las consecuencias de Kolmogorov Cero de Una Ley): $$\{ \omega: \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) \text{ exists} \} \in \mathcal C_\infty$$ $$\limsup_{n \to \infty} X_n \ \ \liminf_{x \to \infty} X_n \ \ \limsup_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{p \le n} X_p \ \ \liminf_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{p \le n} X_p \text{ are $\mathcal C_\infty$ measurable} $$

No tengo ninguna intuición acerca de por qué estos son verdaderos ni qué es exactamente una cola $\sigma$-álgebra además de la definición, que no me inspiran mucho.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La respuesta se desprende la idea de lo @d.k.o. señaló. Por ejemplo, para la declaración

$$\{ \omega: \exists \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) \} \in C_\infty$$

podemos argumentar de la siguiente manera:

Para cada n, $X_{m}$ $m \ge n$ es medible por el $\sigma$-campo ${C}_n = \sigma(\cup_{p \ge n} B_{p})$. Ahora vamos a utilizar el siguiente hecho:

El conjunto de convergencia de una sucesión de funciones medibles es medible

Por lo tanto, el conjunto de convergencia de la secuencia de ${X_{m}}$ $m \ge n$ es medible en $C_{n}$. Como este conjunto de convergencia no cambia con el n de que sigue pertenece a $C_\infty$.

Cuando usted entiende esta prueba, el resto es más fácil. Vamos a la prueba de que:

$\limsup_{n \to \infty} X_n$ es una función medible en $C_\infty$.

$[\lim sup_{n \to \infty} X_{n} < c]=[\lim sup_{k \to \infty, k \ge n} X_{n} < c]$ que pertenece a $C_{n}$ y la declaración de la siguiente.