Grupo de homología de los racionales

Question

Sea $\mathbb{Q}$ el grupo de números racionales. ¿Cómo calcular el % de homología de grupo $H_n(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=H_n(B\mathbb{Q},\mathbb{Z})$?

Sé que $H_0(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ y $H_1(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=\mathbb{Q}_{ab}=\mathbb{Q}$ y creo que $H_n(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=0$ $n>1$, pero no sé cómo probarlo.

Answer 1

Usted puede explícitamente la construcción de un modelo de $B\mathbb{Q}$ tomando la asignación telescopio de la secuencia de $S^1\stackrel{1}\to S^1\stackrel{2}\to S^1\stackrel{3}\to S^1\stackrel{4}\to\dots$ donde $\stackrel{n}\to$ denota un grado $n$ mapa. De hecho, si $K$ es una asignación de telescopio, vemos que la homotopy grupos son los colimit de la homotopy grupos de $S^1$ bajo estos mapas, y por lo $\pi_1(K)=\mathbb{Q}$ y el otro homotopy grupos de $K$ son triviales.

Por lo tanto, podemos calcular el grupo de homología de $\mathbb{Q}$ como la homología de este espacio de $K$. Pero la homología de $K$ es sólo el colimit de la homología de $S^1$ bajo la inducida por los mapas de la secuencia, y así nos encontramos $H_0(K;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$, $H_1(K;\mathbb{Z})=\mathbb{Q})$, y $H_n(K;\mathbb{Z})=0$ $n>1$