convergencia convergencia vs integral de series infinitas

Question

Problema:

Que $f\in C^{1}([0,\infty ))$ tal que: $\int_{1}^{\infty }\left | f^{'}(x) \right |dx$ converge. La pregunta es probar lo siguiente:

$\left ( \sum_{n=1}^{\infty }f(n) \right )$ $\Leftrightarrow \left ( \int_{1}^{\infty }f(x)dx \right )$ de converge converge

No sé cómo probarlo. Para la dirección: $\Leftarrow $ estaba tratando de usar la definición de Rieamann integrales como una suma infinita donde la malla va a cero y de alguna manera tratar de probar que $\left ( \sum_{n=1}^{\infty }f(n) \right )$ converge.

¿Alguna solución o ideas para este problema?

Answer 1

Supongamos primero que la suma converge. Por el Teorema fundamental del cálculo, para cada $x\in [n,n+1]$,

$$f(x) = f(n) + \int_{n} ^x f'(t) dt$$

y por lo tanto

$$|f(x)| \leq |f(n)| + \int_n ^x |f'(t)| dt\;.$$

Integración y suma de los $n$, obtenemos

$$\begin{align*} \int_1 ^\infty |f(x)| dx &= \sum_{n=1} ^\infty \int_n ^{n+1} |f(x)| dx\\ &\leq \sum_{n=1} ^\infty |f(n)| + \sum_{n=1} ^\infty \int_n ^{n+1}\int_n ^x |f'(t)| dt dx \;.\tag{1}\end{align*} $$

Tenemos

$$\begin{align*} \int_n ^{n+1}\int_n ^x |f'(t)| dtdx &= \int_{n} ^{n+1} \int_t ^{n+1} |f'(t)| dxdt \\ &= \int_{n} ^{n+1} (n+1 - t)|f'(t)| dt \\ &\leq \int_{n} ^{n+1} |f'(t)| dt\;.\end{align*} $$

Por lo tanto, la suma final en $(1)$ en la mayoría es % $ $$\sum_{n=1} ^\infty \int_n ^{n+1}|f'(t)| dt = \int_1 ^\infty |f'(t)| dt\;.$así

$$\int_1 ^\infty |f(x)| dx \leq \sum_{n=1} ^\infty|f(n)| + \int_1 ^\infty |f'(t)| dt < \infty\;.$$

De lo contrario, usamos un argumento similar, partiendo de la ecuación

$$f(n) = f(x) - \int_{n} ^x f'(t) dt$$

cada $x\in [n, n+1]$.