Una forma alternativa muy diferente de la serie geométrica

Question

Mientras que estaba jugando con la serie que surgió en una tarea de cálculo me encontré con esta cosa aquí: $$\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt[x]{n^{x-1}i}}$ $ y después de usar wolframalpha para evaluar algunos números verdaderos positivos $x$ parece que $$\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt[x]{n^{x-1}i}} = \frac{x}{x-1}$ $ que es el valor de la serie geométrica con parámetro $\frac{1}{x}$. Lamentablemente no tengo ninguna pista cómo demostrarlo.

Answer 1

$$\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt[x]{n^{x-1}k}} = $$

$$\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n (n^{x-1}k)^{-\frac{1}{x}} = $$ $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^{-\frac{1}{x}} = $$

$$\int_{0}^1t^{-\frac{1}{x}}dt = \frac{x}{x-1} $$