Encontrar todas las funciones continuas (¿hice esto correctamente?)

Question

Encontrar todas la funciones continuas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfactoria:

$f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$ % todo $x,y\in\mathbb{R}$

Intento de solución:

$$\begin{align*} f(x+y) + 1 &= f(x) + f(y) + f(x)f(y) + 1\\ f(x+y) + 1 &= (f(x) + 1)(f(y) + 1) \end{align*} $$

$g(x) = f(x) + 1$ y $g(y) = f(y) + 1$

$$\begin{align*} g(x+y) &= g(x)g(y)\\ (x,y) &= (x,x)\\ g(2x) &= g^2(x)\\ g(x) &= g^2(x/2)\\ g(x) &= c^x,\;\text{ where }c = e^a \end{align*} $$

Así $f(x) = c^x - 1$ para todas las x

Answer 1

Su resultado es correcto, sin embargo, existe una brecha en la comprobación de que $g(x+y)=g(x)g(y)$ implica que el $g(x)=c^x$.

Primero de todo, $g(x)=g^2(\frac{x}{2})$ implica que el $g(0)=0$ o $g(0)=1$.

• Si $g(0)=0$ $f(0)=-1$ y el uso de la relación de $y=0, x\in \mathbb R$, obtenemos:

$$f(x+0)=f(x)+f(0)+f(x)f(0)\Rightarrow f(x)=f(x)-1-f(x)\Rightarrow f(x)=-1,\forall x\in \mathbb R$$

• Ahora, Si $g(0)=1$ , tenemos que seguir algunos pasos para llegar a la la conclusión deseada:
  1. Para $n\in\mathbb N$ es fácil ver que $$g(n)=g(1+\dots+1)=g(1)\times\dots\times g(1)=[g(1)]^n$$
  2. También tenga en cuenta que $$g(1+(-1))=g(1)g(-1)\Rightarrow g(0)=g(1)g(-1)\Rightarrow g(-1)=\dfrac{1}{g(1)}=[g(1)]^{-1}$$
  3. Ahora, para un entero negativo $-m$ tenemos : $$g(-m)=g(-1\dots-1)=g(-1)\times\dots\times g(-1)=[g(1)]^{-m}$$
  4. Siguiente, probarlo para $\dfrac{1}{n},n\in \mathbb N$. Ustedes ya han demostrado que la $g(2x)=g^2(x).$ Si se amplía este, usted puede conseguir fácilmente a $g(nx)=g^n(x)$. Así, por $x=\frac{1}{n}$ $$g^n(\frac{1}{n})=g(1)\Rightarrow g(\frac{1}{n})=[g(1)]^{1/n}$$
  5. Ahora el gran paso: Probar que para los racionales $\dfrac{m}{n}$ $$g(\frac{m}{n})=g(\frac{1}{n}+\dots+\frac{1}{n})=g(\frac{1}{n})\times\dots\times g(\frac{1}{n})=g(\frac{1}{n})^m=[[g(1)]^{1/n}]^m=[g(1)]^{m/n}$$
  6. Por último, si usted toma un $x\in\mathbb R$, entonces existe una secuencia de racionales $\{q_n\}_{n=1}^\infty$ tal que $q_n\xrightarrow{n\rightarrow \infty}x$ y el: $$g(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}g(q_n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}[g(1)]^{q_n}=[g(1)]^x$$ donde hemos utilizado la continuidad de $g$ así como la continuidad de la función exponencial.

Así llegamos al resultado deseado : $$g(x)=[g(1)]^x=c^x$$ $$\Rightarrow f(x)=g(x)-1=c^x-1$$ (o $f(x)=-1$ no se olvide!)

Answer 2

Básicamente sí, excepto que no es inmediatamente evidente, como xpaul notas, que $g(x)=c^x$ sigue de la anterior línea, especialmente puesto que usted no menciona la continuidad. (Dado que han$c=e^a$, pero no hay mención de $a$, sospecho que a la izquierda en algo!)

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Personalmente me proceder de $g(x+y)=g(x)g(y)$ notando $g(x)=g(x/2)^2\ge 0$ por lo tanto $g(x) = 0$ (e $f(x) = -1$ - tenga en cuenta que si esto sucede en un punto, esto pasa en todas partes; ¿por qué?) o $$h(x)=\ln g(x) \quad \implies \quad h(x+y) = h(x) + h(y) \quad \implies \quad h(nx) = nh(x)$$

¿Qué es lo siguiente? Sugerencia: Dado cualquier $x\in\mathbb R$ aviso de que se puede aproximar $x\approx \frac{m}{n}$ por un número racional. Respuesta a continuación.

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Al hacer esta aproximación con cierta exactitud, $x-\frac{m}{n} = \delta$, nos encontramos con $$h(x) = h\left(\frac{m}{n}\right) + h(\delta) = m h\left(\frac{1}{n}\right) + h(\delta) = \frac{m}{n} h(1) + h(\delta) = x h(1) + h(\delta) - \delta h(1)$$ Todo esto es exacto. El uso de la continuidad de $h$ $\delta$ agradable y pequeño, y te encuentras $h(x) = x h(1)$ que le da el resultado que necesita. Dejo para completar los detalles.

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Definitivamente, usted puede hacer esto de muchas formas, esto es sólo la que viene más naturalmente a mi mente.