¿Deja el adjoint al functor olvidadizo $\mathsf{Grpd} \to \mathsf{Cat}$?

Question

He oído que hay una izquierda adjunto para los desmemoriados functor $\mathsf{Grp} \to \mathsf{Mon}$. Me pregunto si también hay una izquierda adjoint $F : \mathsf{Cat} \to \mathsf{Grpd}$ a los desmemoriados functor $\mathsf{Grpd} \to \mathsf{Cat}$ donde $\mathsf{Grpd}$ es la categoría de groupoids, y si es así, ¿cómo $F$ explicitamente puede parecer.

Mi idea era más o menos, que para cada categoría $\mathcal{A}$, el groupoid $F\mathcal{A}$ deben tener los mismos objetos como $\mathcal{A}$. Una flecha $f : A \to B$ $F\mathcal{A}$ debe ser uno de los siguientes:

• una tupla $(A,f',B)$ donde $f ': A \to B$ es una flecha en $\mathcal{A}$
• una tupla $(A,f',B)$ donde $f' : B \to A$ es una flecha en $\mathcal{A}$, iff (??) $f'$ no es iso en $\mathcal{A}$ (esto actúa como una función inversa de a$(B,f',A)$$F\mathcal{A}$)
• otras cosas que usted necesita tener, s.t. usted puede componer flechas $(A, A \to B, B)$ con flechas $(B, C \to B, C)$ y así sucesivamente y así sucesivamente

Por supuesto, no sé cómo hacer el último punto formal y por lo tanto no sé cómo composición debe ser similar. También, no sé si debo de tirar una inversa para cada flecha o sólo para aquellos que "no son ya iso" (como se indica por el (??)).

Cualquier pensamiento que?

Answer 1

Su idea es básicamente correcto. Más explícitamente, $F\mathcal{A}$ tiene los mismos objetos como $\mathcal{A}$ y un mapa de la $A\to B$ $F\mathcal{A}$ puede ser representado como un "zig-zag" de los mapas de $\mathcal{A}$ $$A\to C_1\leftarrow C_2\to C_3\leftarrow\dots\leftarrow C_n \to B,$$ los que pensamos como formalmente en representación de la composición de las flechas hacia la derecha con los inversos de las flechas hacia la izquierda. Nos imponen una relación de equivalencia en tales zigzaguea por declarar que la aplicación de cualquier secuencia de las operaciones siguientes (o sus inversos) hace un zig-zag en un equivalente de zig-zag:

1. Los mapas de identidad pueden ser removidos, con los vecinos de mapas, compuesto, como en $C_i\stackrel{f}{\to} C_{i+1}\stackrel{1}{\leftarrow} C_{i+2}\stackrel{g}{\to}C_{i+3}$ convirtiendo en $C_i\stackrel{gf}{\to}C_{i+3}$.
2. Los vecinos de pares de mapas con la misma etiqueta puede ser añadido en el medio de un zig-zag, con la vecina mapas, compuesto si están en la misma dirección. Por ejemplo, $C_i\stackrel{f}{\to}C_{i+1}\stackrel{g}{\leftarrow} C_{i+2}$ puede activar en cualquiera de las $C_i\stackrel{f}{\to}C_{i+1}\stackrel{h}{\leftarrow} D\stackrel{h}{\to}C_{i+1}\stackrel{g}{\leftarrow} C_{i+2}$ o $C_i\stackrel{f}{\to}C_{i+1}\stackrel{h}{\to} D\stackrel{h}{\leftarrow}C_{i+1}\stackrel{g}{\leftarrow} C_{i+2}$, con el segundo, la reducción de a $C_i\stackrel{hf}{\to}C_{i+1}\stackrel{hg}{\leftarrow} C_{i+2}$

Zigzaguea se componen de la manera obvia, concatenando y luego componer adyacentes flechas apuntando en la misma dirección. Esta categoría es un groupoid, ya que cualquier zigzag tiene una inversa obtener simplemente invirtiendo el orden de los objetos y la dirección de las flechas.

Una vez que haya comprobado que la composición es realmente bien definidos con respecto a la imposición de equivalencia de la relación (esto realmente hace es definir una categoría), es totalmente sencillo para mostrar este zigzag categoría ha deseado universal de los bienes.

Sólo como ilustración, permítanme abordar su preocupación acerca de los colindantes inversos a los mapas que ya tienen inversos en $\mathcal{A}$. Supongamos $f:A\to B$ $g:B\to A$ son inversos en $\mathcal{C}$. Entonces me afirmación de que en $F\mathcal{A}$, $g$ es igual a la formal inversa de a $f$, es decir, el zig-zag $B\stackrel{f}{\leftarrow}A$. De hecho, $B\stackrel{f}{\leftarrow}A$ es equivalente a $B\stackrel{f}{\leftarrow}A\stackrel{g}{\leftarrow} B\stackrel{g}{\to}A$, que se reduce a $B\stackrel{1}{\leftarrow} B\stackrel{g}{\to}A$ que luego se reduce aún más a $B\stackrel{g}{\to} A$. Así que no tiene que preocuparse acerca de la adición de los inversos ya tenemos; la nueva inversas, será igual a la edad inversos.

Más generalmente, se puede realizar esta construcción, sino que requieren la izquierda con las flechas que se encuentran en algunos subcategoría $W$$\mathcal{A}$, y obtener lo que se llama la "localización" $\mathcal{A}[W^{-1}]$$\mathcal{A}$$W$. Esta construcción se utiliza ampliamente en homotopy teoría, donde típicamente $W$ consiste en un tipo de "(débil) homotopy equivalencias" que uno quiere formalmente tratar como isomorphisms.

Permítanme terminar con un par de observaciones. En primer lugar, mientras que la descripción anterior es bastante complicado, la simple existencia de una izquierda adjunto es fácil demostrar (se deduce fácilmente, por ejemplo, desde el functor adjunto teorema). Segundo, todo lo anterior suponiendo que se trata de categorías; la historia se vuelve más complicado si usted está tratando de trabajar con grandes pero localmente categorías pequeñas. La razón es que, a priori, hay un gran conjunto de zigzag de $A$ $B$(ya que se puede elegir cualquiera de los objetos de $C_i$), y para la categoría de $F\mathcal{A}$ no pueden ser localmente pequeño. Hay una gran cantidad de maquinaria que ha sido desarrollado para mostrar que es lo suficientemente agradable casos, las localizaciones son todavía localmente pequeña, y que, además, cualquier mapa de la localización puede ser representado por algunos muy restringido tipo de zig-zag que es más fácil de trabajar que el desastre anterior. Algunos de los conceptos centrales de esta historia son categorías de modelo y cálculo de fracciones.

Answer 2

Lo que usted está buscando es un caso particular de la noción de localización de una categoría con respecto a un conjunto de morfismos: Dada una categoría ${\mathscr C}$ y un conjunto de morfismos $S\subset\textsf{Mor}({\mathscr C})$, que preguntar por la inicial de functor ${\mathscr C}\to{\mathscr D}$ asignación de los morfismos en $S$ a isomorphisms. Ignorando conjunto teórico dificultades, puede ser explícitamente construido y es generalmente denotado ${\mathscr C}\to{\mathscr C}[S^{-1}]$; ver, por ejemplo, Gelfand-Manin, Un curso de álgebra homológica.

Como un caso especial, usted puede recoger $S := \textsf{Mor}({\mathscr C})$, el conjunto de todos los morfismos. En este caso, se puede ver a partir de la construcción explícita de ${\mathscr C}[S^{-1}]$ que es un groupoid, y de la universal de los bienes de la localización de ello se sigue que ${\mathscr C}\to{\mathscr C}[S^{-1}]$ es la inicial de functor de ${\mathscr C}$ en un groupoid. La asignación de ${\mathscr C}\mapsto {\mathscr C}[\textsf{Mor}({\mathscr C})^{-1}]$ luego se extiende a la deseada izquierda adjoint $\textsf{cat}\to\textsf{grpd}$.

En la mayor categoría de contexto, groupoids se sustituyen por espacios y categorías por $\infty$-categorías, y la generalización de la anterior, la localización es la realización geométrica $\infty\textsf{-cat}\hookrightarrow\textsf{sSet}\stackrel{|\ \cdot\ |}{\longrightarrow}\textsf{Top}$.